帶權圖分為有向和無向，無向圖的最短路徑又叫做最小生成樹，有prime算法和kruskal算法；有向圖的最短路徑算法有dijkstra算法和floyd算法。

　　生成樹的概念：聯通圖G的一個子圖如果是一棵包含G的所有頂點的樹，則該子圖稱為G的生成樹 生成樹是聯通圖的極小連通子圖。所謂極小是指：若在樹中任意增加一條邊，則 將出現一個回路；若去掉一條邊，將會使之編程非連通圖。生成樹各邊的權 值總和稱為生成素的權。權最小的生成樹稱為最小生成樹，常用的算法有prime算法和kruskal算法。

　　最短路徑問題旨在尋找圖中兩節點之間的最短路徑，常用的算法有：floyd算法和dijkstra算法。

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　　構造最小生成樹一般使用貪心策略，有prime算法和kruskal算法

　　prime算法的基本思想

1.清空生成樹，任取一個頂點加入生成樹

2.在那些一個端點在生成樹里，另一個端點不在生成樹里的邊中，選取一條權最小的邊，將它和另一個端點加進生成樹

3.重復步驟2，直到所有的頂點都進入了生成樹為止，此時的生成樹就是最小生成樹

int prime(int cur) {int index;int sum = 0;memset(visit, false, sizeof(visit));visit[cur] = true;for(int i = 0; i < m; i ++){dist[i] = graph[cur][i]; }for(int i = 1; i < m; i ++){int mincost = INF;for(int j = 0; j < m; j ++){if(!visit[j] && dist[j] < mincost){mincost = dist[j];index = j; } }visit[index] = true;sum += mincost;for(int j = 0; j < m; j ++){if(!visit[j] && dist[j] > graph[index][j]){dist[j] = graph[index][j];} } } return sum; }
kruskal算法：構造一個只含n個頂點，而邊集為空的子圖，若將該子圖中各個頂點看成是各棵樹的根節點，則它是一個含有n棵樹的森林 。之后，從網的邊集中選取一條權值最小的邊，若該邊的兩個頂點分屬不同的樹 ，則將其加入子圖，也就是這兩個頂點分別所在的 兩棵樹合成一棵樹；反之，若該邊的兩個頂點已落在同一棵樹上，則不可取，而應該取下一條權值最小的邊再試之。依次類推，直至森林只有一棵樹。kruskal算法能夠在并查集的基礎很快的實現。

#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std;const int size = 128; int n; int father[size]; int rank[size];//把每條邊成為一個結構體，包括起點、終點和權值 typedef struct node {int val;int start;int end; }edge[SIZE * SIZE / 2];//把每個元素初始化為一個集合 void make_set() {for(int i = 0; i < n; i ++){father[i] = i;rank[i] = 1; } return ; }//查找一個元素所在的集合,即找到祖先 int find_set(int x) {if(x != father[x]){father[x] = find_set(father[x]); } return father[x]; }//合并x,y所在的兩個集合：利用Find_Set找到其中兩個 //集合的祖先，將一個集合的祖先指向另一個集合的祖先。 void Union(int x, int y) {x = find_set(x); y = find_set(y);if(x == y){return ; }if(rank[x] < rank[y]){father[x] = find_set(y); }else{if(rank[x] == rank[y]){rank[x] ++; } father[y] = find_set(x);}return ; }bool cmp(pnode a, pnode b) {return a.val < b.val; }int kruskal(int n) //n為邊的數量 {int sum = 0;make_set();for(int i = 0; i < n; i ++){ //從權最小的邊開始加進圖中 if(find_set(edge[i].start) != find_set(edge[i].end)){Union(edge[i].start, edge[i].end);sum += edge[i].val; } }return sum; }int main() {while(1){scanf("%d", &n); if(n == 0){break; }char x, y;int m, weight;int cnt = 0;for(int i = 0; i < n - 1; i ++){cin >> x >> m; //scanf("%c %d", &x, &m); //printf("%c %d ", x, m);for(int j = 0; j < m; j ++){cin >> y >> weight; //scanf("%c %d", &y, &weight);//printf("%c %d ", y, weight); edge[cnt].start = x - 'A';edge[cnt].end = y - 'A';edge[cnt].val = weight;cnt ++;}}sort(edge, edge + cnt, cmp); //對邊按權從小到大排序 cout << kruskal(cnt) << endl; } }
最短路徑問題旨在尋找圖中兩節點之間的最短路徑，常用的算法有：floyd算法和dijkstra算法。

　　floyd算法是最簡單的最短路徑算法，可以計算圖中任意兩點間的最短路徑? folyd算法的時間復雜度是O(N^3),如果是一個沒有邊權的圖，把相連的兩點? 間的距離設為dist[i][j] = 1，不相連的兩點設為無窮大，用 floyd算法可以判斷i,j兩點是否有路徑相連。

void floyd() {for(int k = 0; k < n; k ++){ //作為循環中間點的k必須放在最外一層循環 for(int i = 0; i < n; i ++){for(int j = 0; j < n; j ++){if(dist[i][j] > dist[i][k] + dist[k][j]){dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j]; //dist[i][j]得出的是i到j的最短路徑 } } } } }

dijkstra算法用來計算從一個點到其他所有點的最短路徑的算法，復雜度O(N^2)。

void dijkstra(int s) //s是起點 {memset(visit, false, sizeof(visit)); visit[s] = true;for(int i = 0; i < n; i ++){dist[i] = graph[s][i];}int index;for(int i = 1; i < n; i ++){int mincost = INF;for(int j = 0; j < n; j ++){if(!visit[j] && dist[j] < mincost){mincost = dist[j];index = j; } }visit[index] = true;for(int j = 0; j < n; j ++){if(!visit[j] && dist[j] > dist[index] + graph[index][j]){dist[j] = dist[index] + graph[index][j];} } } }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的最小生成树（prime算法、kruskal算法） 和 最短路径算法（floyd、dijkstra）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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