威佐夫博奕（Wythoff Game）：有兩堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆或同 時從兩堆中取同樣多的物品，規定每次至少取一個，多者不限，最后取光者得勝。這種情況下是頗為復雜的。我們用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，…,n)表示 兩堆物品的數量并稱其為局勢，如果甲面對（0，0），那么甲已經輸了，這種局勢我們 稱為奇異局勢。前幾個奇異局勢是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6， 10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出現過的最小自然數,而 bk= ak + k，奇異局勢有 如下三條性質：1。任何自然數都包含在一個且僅有一個奇異局勢中。 由于ak是未在前面出現過的最小自然數，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak -1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性質1。成立。 2。任意操作都可將奇異局勢變為非奇異局勢。 事實上，若只改變奇異局勢（ak，bk）的某一個分量，那么另一個分量不可能在其 他奇異局勢中，所以必然是非奇異局勢。如果使（ak，bk）的兩個分量同時減少，則由 于其差不變，且不可能是其他奇異局勢的差，因此也是非奇異局勢。 3。采用適當的方法，可以將非奇異局勢變為奇異局勢。假設面對的局勢是（a,b），若 b = a，則同時從兩堆中取走 a 個物體，就變為了 奇異局勢（0，0）；如果a = ak ，b > bk，那么，取走b – bk個物體，即變為奇異局 勢；如果 a = ak ， b < bk ,則同時從兩堆中拿走 ak – ab – ak個物體,變為奇異局 勢（ ab – ak , ab – ak+ b – ak）；如果a > ak ，b= ak + k,則從第一堆中拿走多余 的數量a – ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k,分兩種情況，第一種，a=aj （j < k） ,從第二堆里面拿走 b – bj 即可；第二種，a=bj （j < k）,從第二堆里面拿走 b – a j 即可。從如上性質可知，兩個人如果都采用正確操作，那么面對非奇異局勢，先拿者必勝 ；反之，則后拿者取勝。那么任給一個局勢（a，b），怎樣判斷它是不是奇異局勢呢？我們有如下公式：ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，…,n 方括號表示取整函數)奇妙的是其中出現了黃金分割數（1+√5）/2 = 1。618…,因此,由ak，bk組成的矩形近 似為黃金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[ j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1 + j + 1，若都不是，那么就不是奇異局勢。然后再按照上述法則進行，一定會遇到奇異 局勢。k = abs(b - a); (1 + sqrt(5.0))/2 * k == min(a,b)?NO:YES

與50位技術專家面對面20年技術見證，附贈技術全景圖

總結

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