nyoj 954
N!
時(shí)間限制：1000?ms ?|? 內(nèi)存限制：65535?KB 難度：3 描述階乘(Factorial)是一個(gè)很有意思的函數(shù)，但是不少人都比較怕它。現(xiàn)在這里有一個(gè)問(wèn)題，給定一個(gè)N(0<0<1000000000)，求N!的二進(jìn)制表示最低位的1的位置(從右向左數(shù))。
輸入3! = (6)10 = (110)2，則第一個(gè)1是第二位
4! = (24)10 = (11000)2，則第一個(gè)1是第四位
解題思路：
在做這個(gè)題目之前，先來(lái)看一個(gè)問(wèn)題：
給定一個(gè)整數(shù)N,那么N的階乘N！末尾有多少個(gè)0呢?例如:N=10，N!=362800，N!的末尾有兩個(gè)0;
?首先，最直接的算法當(dāng)然是直接求出來(lái)N！然后看末尾有幾個(gè)0就行了。但這里存在兩個(gè)問(wèn)題：
???? （1）不管使用long或者double一定會(huì)產(chǎn)生溢出。
???? （2）效率低下。
????? 對(duì)于問(wèn)題（1），我們可以采用字符串存儲(chǔ)的辦法解決，但問(wèn)題（2）是由本身算法決定的，所以只能采用其他的算法。
那 到底有沒(méi)有更好的算法呢？我們來(lái)分析，N！能產(chǎn)生0的質(zhì)數(shù)組合只能是2 * 5，也就是說(shuō)當(dāng)對(duì)N!進(jìn)行質(zhì)數(shù)分解之后，N!末尾0的個(gè)位M取決于2的個(gè)數(shù)X和5的個(gè)數(shù)Y的最小值，即M = min（X,Y）。又因?yàn)槟鼙?整除的數(shù)出現(xiàn)的頻率比能被5整除的數(shù)高得多，且出現(xiàn)一個(gè)5的時(shí),最少會(huì)同時(shí)出現(xiàn)一個(gè)2，所以M = Y。即得出Y的值就可以得到N!末尾0的個(gè)數(shù)。
計(jì)算Y，最直接的方法，就是計(jì)算機(jī)1…N的因式分解中5的個(gè)數(shù)，然后求和。
那 么還有沒(méi)有更簡(jiǎn)單點(diǎn)的方法呢？我們想，Y還能怎么樣得到？舉個(gè)例子 25的階乘中，總共有6個(gè)五，其中5,10,15,20，各貢獻(xiàn)一個(gè)，25貢獻(xiàn)兩個(gè)，也可以說(shuō)成，5,10,15,20，25各貢獻(xiàn)一個(gè)，25又額外貢獻(xiàn) 一個(gè)，即5的倍數(shù)各貢獻(xiàn)一個(gè)5,25的倍數(shù)各貢獻(xiàn)一個(gè)5,即Y=[25/5] + [25/25]。同理，125中，5的倍數(shù)各貢獻(xiàn)一個(gè)5,25的倍數(shù)各貢獻(xiàn)一個(gè)5,125的倍數(shù)也各貢獻(xiàn)一個(gè)5，所以Y=[125/5] + [125/25] + [125/125],所以可得公式：
Y = [N/5] + [N/52] + [N/53] + …
代碼如下：long GetZeroNum(long n) {long num = 0;while(n != 0){num=num+n/5;n=n/5;}return num; }
回到這個(gè)題目上，這個(gè)題目問(wèn)的是二進(jìn)制中，最低位1的位置。那么最低位1之后的肯定全為0，現(xiàn)在就是要找到末尾有多少個(gè)0。那么我們的想法和上面一樣，找有多少個(gè)2的倍數(shù)。
AC:
#include<iostream> using namespace std;typedef long long LL;int main() { LL n,sum;while(cin>>n) {sum = 0;while(n){sum += n/2;n /= 2;}cout<<sum+1<<endl;}return 0; }
總結(jié)
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