? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【坐在馬桶上看算法】算法7：Dijkstra最短路算法

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? ? ? ?上周我們介紹了神奇的只有五行的Floyd最短路算法，它可以方便的求得任意兩點(diǎn)的最短路徑，這稱為“多源最短路”。本周來(lái)來(lái)介紹指定一個(gè)點(diǎn)（源點(diǎn)）到其余各個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑，也叫做“單源最短路徑”。例如求下圖中的1號(hào)頂點(diǎn)到2、3、4、5、6號(hào)頂點(diǎn)的最短路徑。

? ? ? ?與Floyd-Warshall算法一樣這里仍然使用二維數(shù)組e來(lái)存儲(chǔ)頂點(diǎn)之間邊的關(guān)系，初始值如下。

? ? ? ?我們還需要用一個(gè)一維數(shù)組dis來(lái)存儲(chǔ)1號(hào)頂點(diǎn)到其余各個(gè)頂點(diǎn)的初始路程，如下。

? ? ? ?我們將此時(shí)dis數(shù)組中的值稱為最短路的“估計(jì)值”。

? ? ? ?既然是求1號(hào)頂點(diǎn)到其余各個(gè)頂點(diǎn)的最短路程，那就先找一個(gè)離1號(hào)頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)。通過(guò)數(shù)組dis可知當(dāng)前離1號(hào)頂點(diǎn)最近是2號(hào)頂點(diǎn)。當(dāng)選擇了2號(hào)頂點(diǎn)后，dis[2]的值就已經(jīng)從“估計(jì)值”變?yōu)榱恕按_定值”，即1號(hào)頂點(diǎn)到2號(hào)頂點(diǎn)的最短路程就是當(dāng)前dis[2]值。為什么呢？你想啊，目前離1號(hào)頂點(diǎn)最近的是2號(hào)頂點(diǎn)，并且這個(gè)圖所有的邊都是正數(shù)，那么肯定不可能通過(guò)第三個(gè)頂點(diǎn)中轉(zhuǎn)，使得1號(hào)頂點(diǎn)到2號(hào)頂點(diǎn)的路程進(jìn)一步縮短了。因?yàn)?號(hào)頂點(diǎn)到其它頂點(diǎn)的路程肯定沒有1號(hào)到2號(hào)頂點(diǎn)短，對(duì)吧O(∩_∩)O~

? ? ? ?既然選了2號(hào)頂點(diǎn)，接下來(lái)再來(lái)看2號(hào)頂點(diǎn)有哪些出邊呢。有2->3和2->4這兩條邊。先討論通過(guò)2->3這條邊能否讓1號(hào)頂點(diǎn)到3號(hào)頂點(diǎn)的路程變短。也就是說(shuō)現(xiàn)在來(lái)比較dis[3]和dis[2]+e[2][3]的大小。其中dis[3]表示1號(hào)頂點(diǎn)到3號(hào)頂點(diǎn)的路程。dis[2]+e[2][3]中dis[2]表示1號(hào)頂點(diǎn)到2號(hào)頂點(diǎn)的路程，e[2][3]表示2->3這條邊。所以dis[2]+e[2][3]就表示從1號(hào)頂點(diǎn)先到2號(hào)頂點(diǎn)，再通過(guò)2->3這條邊，到達(dá)3號(hào)頂點(diǎn)的路程。

? ? ? ?我們發(fā)現(xiàn)dis[3]=12，dis[2]+e[2][3]=1+9=10，dis[3]>dis[2]+e[2][3]，因此dis[3]要更新為10。這個(gè)過(guò)程有個(gè)專業(yè)術(shù)語(yǔ)叫做“松弛”。即1號(hào)頂點(diǎn)到3號(hào)頂點(diǎn)的路程即dis[3]，通過(guò)2->3這條邊松弛成功。這便是Dijkstra算法的主要思想：通過(guò)“邊”來(lái)松弛1號(hào)頂點(diǎn)到其余各個(gè)頂點(diǎn)的路程。

? ? ? ?同理通過(guò)2->4（e[2][4]），可以將dis[4]的值從∞松弛為4（dis[4]初始為∞，dis[2]+e[2][4]=1+3=4，dis[4]>dis[2]+e[2][4]，因此dis[4]要更新為4）。

? ? ? ?剛才我們對(duì)2號(hào)頂點(diǎn)所有的出邊進(jìn)行了松弛。松弛完畢之后dis數(shù)組為：

? ? ? ?接下來(lái)，繼續(xù)在剩下的3、4、5和6號(hào)頂點(diǎn)中，選出離1號(hào)頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)。通過(guò)上面更新過(guò)dis數(shù)組，當(dāng)前離1號(hào)頂點(diǎn)最近是4號(hào)頂點(diǎn)。此時(shí)，dis[4]的值已經(jīng)從“估計(jì)值”變?yōu)榱恕按_定值”。下面繼續(xù)對(duì)4號(hào)頂點(diǎn)的所有出邊（4->3，4->5和4->6）用剛才的方法進(jìn)行松弛。松弛完畢之后dis數(shù)組為：

? ? ? ?繼續(xù)在剩下的3、5和6號(hào)頂點(diǎn)中，選出離1號(hào)頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)，這次選擇3號(hào)頂點(diǎn)。此時(shí)，dis[3]的值已經(jīng)從“估計(jì)值”變?yōu)榱恕按_定值”。對(duì)3號(hào)頂點(diǎn)的所有出邊（3->5）進(jìn)行松弛。松弛完畢之后dis數(shù)組為：

? ? ? ?繼續(xù)在剩下的5和6號(hào)頂點(diǎn)中，選出離1號(hào)頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)，這次選擇5號(hào)頂點(diǎn)。此時(shí)，dis[5]的值已經(jīng)從“估計(jì)值”變?yōu)榱恕按_定值”。對(duì)5號(hào)頂點(diǎn)的所有出邊（5->4）進(jìn)行松弛。松弛完畢之后dis數(shù)組為：

? ? ? ?最后對(duì)6號(hào)頂點(diǎn)所有點(diǎn)出邊進(jìn)行松弛。因?yàn)檫@個(gè)例子中6號(hào)頂點(diǎn)沒有出邊，因此不用處理。到此，dis數(shù)組中所有的值都已經(jīng)從“估計(jì)值”變?yōu)榱恕按_定值”。

? ? ? ?最終dis數(shù)組如下，這便是1號(hào)頂點(diǎn)到其余各個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑。

? ? ? ?OK，現(xiàn)在來(lái)總結(jié)一下剛才的算法。算法的基本思想是：每次找到離源點(diǎn)（上面例子的源點(diǎn)就是1號(hào)頂點(diǎn)）最近的一個(gè)頂點(diǎn)，然后以該頂點(diǎn)為中心進(jìn)行擴(kuò)展，最終得到源點(diǎn)到其余所有點(diǎn)的最短路徑。基本步驟如下：

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• 將所有的頂點(diǎn)分為兩部分：已知最短路程的頂點(diǎn)集合P和未知最短路徑的頂點(diǎn)集合Q。最開始，已知最短路徑的頂點(diǎn)集合P中只有源點(diǎn)一個(gè)頂點(diǎn)。我們這里用一個(gè)book[ i ]數(shù)組來(lái)記錄哪些點(diǎn)在集合P中。例如對(duì)于某個(gè)頂點(diǎn)i，如果book[ i ]為1則表示這個(gè)頂點(diǎn)在集合P中，如果book[ i ]為0則表示這個(gè)頂點(diǎn)在集合Q中。

• 設(shè)置源點(diǎn)s到自己的最短路徑為0即dis=0。若存在源點(diǎn)有能直接到達(dá)的頂點(diǎn)i，則把dis[ i ]設(shè)為e[s][ i ]。同時(shí)把所有其它（源點(diǎn)不能直接到達(dá)的）頂點(diǎn)的最短路徑為設(shè)為∞。

• 在集合Q的所有頂點(diǎn)中選擇一個(gè)離源點(diǎn)s最近的頂點(diǎn)u（即dis[u]最小）加入到集合P。并考察所有以點(diǎn)u為起點(diǎn)的邊，對(duì)每一條邊進(jìn)行松弛操作。例如存在一條從u到v的邊，那么可以通過(guò)將邊u->v添加到尾部來(lái)拓展一條從s到v的路徑，這條路徑的長(zhǎng)度是dis[u]+e[u][v]。如果這個(gè)值比目前已知的dis[v]的值要小，我們可以用新值來(lái)替代當(dāng)前dis[v]中的值。

• 重復(fù)第3步，如果集合Q為空，算法結(jié)束。最終dis數(shù)組中的值就是源點(diǎn)到所有頂點(diǎn)的最短路徑。

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? ? ? ?完整的Dijkstra算法代碼如下：

#include <stdio.h> int main() {int e[10][10],dis[10],book[10],i,j,n,m,t1,t2,t3,u,v,min;int inf=99999999; //用inf(infinity的縮寫)存儲(chǔ)一個(gè)我們認(rèn)為的正無(wú)窮值//讀入n和m，n表示頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，m表示邊的條數(shù)scanf("%d %d",&n,&m); //初始化for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)if(i==j) e[i][j]=0;else e[i][j]=inf;//讀入邊f(xié)or(i=1;i<=m;i++){scanf("%d %d %d",&t1,&t2,&t3);e[t1][t2]=t3;}//初始化dis數(shù)組，這里是1號(hào)頂點(diǎn)到其余各個(gè)頂點(diǎn)的初始路程for(i=1;i<=n;i++)dis[i]=e[1][i];//book數(shù)組初始化for(i=1;i<=n;i++)book[i]=0;book[1]=1;//Dijkstra算法核心語(yǔ)句for(i=1;i<=n-1;i++){//找到離1號(hào)頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)min=inf;for(j=1;j<=n;j++){if(book[j]==0 && dis[j]<min){min=dis[j];u=j;}}book[u]=1;for(v=1;v<=n;v++){if(e[u][v]<inf){if(dis[v]>dis[u]+e[u][v])dis[v]=dis[u]+e[u][v];}}}//輸出最終的結(jié)果for(i=1;i<=n;i++)printf("%d ",dis[i]);getchar();getchar();return 0; }

? ? ? ?可以輸入以下數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。第一行兩個(gè)整數(shù)n ?m。n表示頂點(diǎn)個(gè)數(shù)（頂點(diǎn)編號(hào)為1~n），m表示邊的條數(shù)。接下來(lái)m行表示，每行有3個(gè)數(shù)x y z。表示頂點(diǎn)x到頂點(diǎn)y邊的權(quán)值為z。

6 9 1 2 1 1 3 12 2 3 9 2 4 3 3 5 5 4 3 4 4 5 13 4 6 15 5 6 4

? ? ? ?運(yùn)行結(jié)果是

0 1 8 4 13 17

? ?通過(guò)上面的代碼我們可以看出，這個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度是O(N2)。其中每次找到離1號(hào)頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)的時(shí)間復(fù)雜度是O(N)，這里我們可以用“堆”（以后再說(shuō)）來(lái)優(yōu)化，使得這一部分的時(shí)間復(fù)雜度降低到O(logN)。另外對(duì)于邊數(shù)M少于N2的稀疏圖來(lái)說(shuō)（我們把M遠(yuǎn)小于N2的圖稱為稀疏圖，而M相對(duì)較大的圖稱為稠密圖），我們可以用鄰接表（這是個(gè)神馬東西？不要著急，下周再仔細(xì)講解）來(lái)代替鄰接矩陣，使得整個(gè)時(shí)間復(fù)雜度優(yōu)化到O( (M+N)logN )。請(qǐng)注意！在最壞的情況下M就是N2，這樣的話MlogN要比N2還要大。但是大多數(shù)情況下并不會(huì)有那么多邊，因此(M+N)logN要比N2小很多。

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【啊哈！算法】系列7：Dijkstra最短路算法
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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的坐在马桶上看算法：Dijkstra最短路算法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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