? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【坐在馬桶上看算法】算法7：Dijkstra最短路算法

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? ? ? ?上周我們介紹了神奇的只有五行的Floyd最短路算法，它可以方便的求得任意兩點的最短路徑，這稱為“多源最短路”。本周來來介紹指定一個點（源點）到其余各個頂點的最短路徑，也叫做“單源最短路徑”。例如求下圖中的1號頂點到2、3、4、5、6號頂點的最短路徑。

? ? ? ?與Floyd-Warshall算法一樣這里仍然使用二維數(shù)組e來存儲頂點之間邊的關(guān)系，初始值如下。

? ? ? ?我們還需要用一個一維數(shù)組dis來存儲1號頂點到其余各個頂點的初始路程，如下。

? ? ? ?我們將此時dis數(shù)組中的值稱為最短路的“估計值”。

? ? ? ?既然是求1號頂點到其余各個頂點的最短路程，那就先找一個離1號頂點最近的頂點。通過數(shù)組dis可知當前離1號頂點最近是2號頂點。當選擇了2號頂點后，dis[2]的值就已經(jīng)從“估計值”變?yōu)榱恕按_定值”，即1號頂點到2號頂點的最短路程就是當前dis[2]值。為什么呢？你想啊，目前離1號頂點最近的是2號頂點，并且這個圖所有的邊都是正數(shù)，那么肯定不可能通過第三個頂點中轉(zhuǎn)，使得1號頂點到2號頂點的路程進一步縮短了。因為1號頂點到其它頂點的路程肯定沒有1號到2號頂點短，對吧O(∩_∩)O~

? ? ? ?既然選了2號頂點，接下來再來看2號頂點有哪些出邊呢。有2->3和2->4這兩條邊。先討論通過2->3這條邊能否讓1號頂點到3號頂點的路程變短。也就是說現(xiàn)在來比較dis[3]和dis[2]+e[2][3]的大小。其中dis[3]表示1號頂點到3號頂點的路程。dis[2]+e[2][3]中dis[2]表示1號頂點到2號頂點的路程，e[2][3]表示2->3這條邊。所以dis[2]+e[2][3]就表示從1號頂點先到2號頂點，再通過2->3這條邊，到達3號頂點的路程。

? ? ? ?我們發(fā)現(xiàn)dis[3]=12，dis[2]+e[2][3]=1+9=10，dis[3]>dis[2]+e[2][3]，因此dis[3]要更新為10。這個過程有個專業(yè)術(shù)語叫做“松弛”。即1號頂點到3號頂點的路程即dis[3]，通過2->3這條邊松弛成功。這便是Dijkstra算法的主要思想：通過“邊”來松弛1號頂點到其余各個頂點的路程。

? ? ? ?同理通過2->4（e[2][4]），可以將dis[4]的值從∞松弛為4（dis[4]初始為∞，dis[2]+e[2][4]=1+3=4，dis[4]>dis[2]+e[2][4]，因此dis[4]要更新為4）。

? ? ? ?剛才我們對2號頂點所有的出邊進行了松弛。松弛完畢之后dis數(shù)組為：

? ? ? ?接下來，繼續(xù)在剩下的3、4、5和6號頂點中，選出離1號頂點最近的頂點。通過上面更新過dis數(shù)組，當前離1號頂點最近是4號頂點。此時，dis[4]的值已經(jīng)從“估計值”變?yōu)榱恕按_定值”。下面繼續(xù)對4號頂點的所有出邊（4->3，4->5和4->6）用剛才的方法進行松弛。松弛完畢之后dis數(shù)組為：

? ? ? ?繼續(xù)在剩下的3、5和6號頂點中，選出離1號頂點最近的頂點，這次選擇3號頂點。此時，dis[3]的值已經(jīng)從“估計值”變?yōu)榱恕按_定值”。對3號頂點的所有出邊（3->5）進行松弛。松弛完畢之后dis數(shù)組為：

? ? ? ?繼續(xù)在剩下的5和6號頂點中，選出離1號頂點最近的頂點，這次選擇5號頂點。此時，dis[5]的值已經(jīng)從“估計值”變?yōu)榱恕按_定值”。對5號頂點的所有出邊（5->4）進行松弛。松弛完畢之后dis數(shù)組為：

? ? ? ?最后對6號頂點所有點出邊進行松弛。因為這個例子中6號頂點沒有出邊，因此不用處理。到此，dis數(shù)組中所有的值都已經(jīng)從“估計值”變?yōu)榱恕按_定值”。

? ? ? ?最終dis數(shù)組如下，這便是1號頂點到其余各個頂點的最短路徑。

? ? ? ?OK，現(xiàn)在來總結(jié)一下剛才的算法。算法的基本思想是：每次找到離源點（上面例子的源點就是1號頂點）最近的一個頂點，然后以該頂點為中心進行擴展，最終得到源點到其余所有點的最短路徑。基本步驟如下：

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• 將所有的頂點分為兩部分：已知最短路程的頂點集合P和未知最短路徑的頂點集合Q。最開始，已知最短路徑的頂點集合P中只有源點一個頂點。我們這里用一個book[ i ]數(shù)組來記錄哪些點在集合P中。例如對于某個頂點i，如果book[ i ]為1則表示這個頂點在集合P中，如果book[ i ]為0則表示這個頂點在集合Q中。

• 設置源點s到自己的最短路徑為0即dis=0。若存在源點有能直接到達的頂點i，則把dis[ i ]設為e[s][ i ]。同時把所有其它（源點不能直接到達的）頂點的最短路徑為設為∞。

• 在集合Q的所有頂點中選擇一個離源點s最近的頂點u（即dis[u]最小）加入到集合P。并考察所有以點u為起點的邊，對每一條邊進行松弛操作。例如存在一條從u到v的邊，那么可以通過將邊u->v添加到尾部來拓展一條從s到v的路徑，這條路徑的長度是dis[u]+e[u][v]。如果這個值比目前已知的dis[v]的值要小，我們可以用新值來替代當前dis[v]中的值。

• 重復第3步，如果集合Q為空，算法結(jié)束。最終dis數(shù)組中的值就是源點到所有頂點的最短路徑。

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? ? ? ?完整的Dijkstra算法代碼如下：

#include <stdio.h> int main() {int e[10][10],dis[10],book[10],i,j,n,m,t1,t2,t3,u,v,min;int inf=99999999; //用inf(infinity的縮寫)存儲一個我們認為的正無窮值//讀入n和m，n表示頂點個數(shù)，m表示邊的條數(shù)scanf("%d %d",&n,&m); //初始化for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)if(i==j) e[i][j]=0;else e[i][j]=inf;//讀入邊f(xié)or(i=1;i<=m;i++){scanf("%d %d %d",&t1,&t2,&t3);e[t1][t2]=t3;}//初始化dis數(shù)組，這里是1號頂點到其余各個頂點的初始路程for(i=1;i<=n;i++)dis[i]=e[1][i];//book數(shù)組初始化for(i=1;i<=n;i++)book[i]=0;book[1]=1;//Dijkstra算法核心語句for(i=1;i<=n-1;i++){//找到離1號頂點最近的頂點min=inf;for(j=1;j<=n;j++){if(book[j]==0 && dis[j]<min){min=dis[j];u=j;}}book[u]=1;for(v=1;v<=n;v++){if(e[u][v]<inf){if(dis[v]>dis[u]+e[u][v])dis[v]=dis[u]+e[u][v];}}}//輸出最終的結(jié)果for(i=1;i<=n;i++)printf("%d ",dis[i]);getchar();getchar();return 0; }

? ? ? ?可以輸入以下數(shù)據(jù)進行驗證。第一行兩個整數(shù)n ?m。n表示頂點個數(shù)（頂點編號為1~n），m表示邊的條數(shù)。接下來m行表示，每行有3個數(shù)x y z。表示頂點x到頂點y邊的權(quán)值為z。

6 9 1 2 1 1 3 12 2 3 9 2 4 3 3 5 5 4 3 4 4 5 13 4 6 15 5 6 4

? ? ? ?運行結(jié)果是

0 1 8 4 13 17

? ?通過上面的代碼我們可以看出，這個算法的時間復雜度是O(N2)。其中每次找到離1號頂點最近的頂點的時間復雜度是O(N)，這里我們可以用“堆”（以后再說）來優(yōu)化，使得這一部分的時間復雜度降低到O(logN)。另外對于邊數(shù)M少于N2的稀疏圖來說（我們把M遠小于N2的圖稱為稀疏圖，而M相對較大的圖稱為稠密圖），我們可以用鄰接表（這是個神馬東西？不要著急，下周再仔細講解）來代替鄰接矩陣，使得整個時間復雜度優(yōu)化到O( (M+N)logN )。請注意！在最壞的情況下M就是N2，這樣的話MlogN要比N2還要大。但是大多數(shù)情況下并不會有那么多邊，因此(M+N)logN要比N2小很多。

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【啊哈！算法】系列7：Dijkstra最短路算法
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總結(jié)

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