因為進位對個位不影響，積的取余等于取余的積取余

#include<stdio.h>int PowerMod(int a, int b, int c) {int ans = 1;int k = a % c;while(b>0)//(k*k % c)2^b %c{if(b % 2 == 1)//如果是奇數ans = (ans * k) % c;b = b/2;k = (k * k) % c;//k是不斷代入，以代表每一次降一次冪} return ans;}int main() {int T;scanf("%d",&T);while(T--){int n;scanf("%d",&n);int ans=PowerMod(n,n,10);printf("%d\n",ans);}return 0; }

1.如果b是偶數，我們可以記k = a²?mod c，那么求(k)^b/2?mod c就可以了。

2.如果b是奇數，我們也可以記k = a²?mod c，那么求

((k)^b/2?mod c?×?a ) mod c =((k)^b/2?mod c * a) mod c?就可以了。

?

那么我們可以得到以下算法：

算法4：

int?ans = 1;

a = a % c;

if(b%2==1)

ans = (ans * a) mod c;?//如果是奇數，要多求一步，可以提前算到ans中

k = (a*a) % c;?//我們取a²而不是a

for(int?i = 1;i<=b/2;i++)

{

ans = (ans * k) % c;

}

ans = ans % c;

?

我們可以看到，我們把時間復雜度變成了O(b/2).當然，這樣子治標不治本。但我們可以看到，當我們令k = (a * a) mod c時，狀態已經發生了變化，我們所要求的最終結果即為(k)^b/2?mod c而不是原來的a^b?mod c，所以我們發現這個過程是可以迭代下去的。當然，對于奇數的情形會多出一項a mod c，所以為了完成迭代，當b是奇數時，我們通過

ans = (ans * a) % c;來彌補多出來的這一項，此時剩余的部分就可以進行迭代了。

?

形如上式的迭代下去后，當b=0時，所有的因子都已經相乘，算法結束。于是便可以在O（log b）的時間內完成了。于是，有了最終的算法：快速冪算法。

算法5：快速冪算法

?

int?ans = 1;

a = a % c;

while(b>0)

{

?

if(b % 2 == 1)

ans = (ans * a) % c;

b = b/2;

a = (a * a) % c;

}

將上述的代碼結構化，也就是寫成函數：

int?PowerMod(int?a,?int?b,?int?c)

{

int?ans = 1;

a = a % c;

while(b>0)

{

?

if(b % 2 = = 1)

ans = (ans * a) % c;

b = b/2;

a = (a * a) % c;

}

return?ans;

}

本算法的時間復雜度為O（logb），能在幾乎所有的程序設計（競賽）過程中通過，是目前最常用的算法之一。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的快速幂取模算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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