求乘法逆元的几种方法
乘法逆元的定義貌似是基于群給出的，比較簡單地理解，可以說是倒數的概念的推廣。記a的關于模p的逆元為a^-1,則a^-1滿足aa^-1≡ 1(mod p)
加減乘與模運算的順序交換不會影響結果，但是除法不行。有的題目要求結果mod一個大質數，如果原本的結果中有除法，比如除以a,那就可以乘以a的逆元替代。
在mod p的運算中，a存在乘法逆元當且僅當a與p互質。一般題目給的是一個大質數，所以只要a不是p的倍數，就以求乘法逆元。
目前了解到的求法有三種：
1.擴展歐幾里得。aa^-1≡ 1(mod p)，可以轉換為aa^-1 + py = 1，即是擴展歐幾里得所能解的ax + by = gcd(a, b)。最常用的解法。 int x, y; int extgcd(int a, int b, int &x, int &y) {if (b == 0){x = 1;y = 0;return a;}int gcd = exgcd(b, a % b, x, y);int tmp = x;x = y;y = tmp - (a/b) * y;return gcd; }/* 求解ax+by=gcd(a,b)，亦即ax≡1(mod b)。函數返回值是a,b的最大公約數，而x即a的逆元。 注意a, b不能寫反了。 */
2.由費馬小定理a^(p-1)≡ 1(mod p)(p為素數)，稍作變形即是 aa^(p-2)≡ 1(mod p)，是不是發現了，a^(p-2)即是a的逆元，這個可以用快速冪來求。
3.網上看到的一個很厲害的o(n)的遞推，求前n個逆元，不知道是怎么推出來的，但是可以簡單地證明一下正確性(要求所mod p為素數)。
首先，1的逆元是1，沒什么疑問。
假設前i個數的逆元已經求出，那么
i^-1 = (p%i)^-1 * (p - [p/i]) % p。其中[]表示去尾取整。
(p%i)^-1其實就是(p-[p/i]i)^-1，然后我們左右乘以i，
ii^-1 = (p-[p/i]i)^-1 * ((i-1)p + p-[p/i]i) % p，
其實就是ii^-1 = k^-1 * ((i-1)p + k) % p = 0 + 1 = 1，這樣就證完了＝。＝
//字體真糟糕。。
int[] inv = new int[MAXN]; inv[1] = 1; for (int i = 2; i<MAXN; i++)inv[i] = inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
今天我們來探討逆元在ACM-ICPC競賽中的應用，逆元是一個很重要的概念，必須學會使用它。
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對于正整數和，如果有，那么把這個同余方程中的最小正整數解叫做模的逆元。
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逆元一般用擴展歐幾里得算法來求得，如果為素數，那么還可以根據費馬小定理得到逆元為。
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推導過程如下
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求現在來看一個逆元最常見問題，求如下表達式的值（已知）
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當然這個經典的問題有很多方法，最常見的就是擴展歐幾里得，如果是素數，還可以用費馬小定理。
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但是你會發現費馬小定理和擴展歐幾里得算法求逆元是有局限性的，它們都會要求與互素。實際上我們還有一
種通用的求逆元方法，適合所有情況。公式如下
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現在我們來證明它，已知，證明步驟如下
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逆元詳解: ?? http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8220787總結
以上是生活随笔為你收集整理的求乘法逆元的几种方法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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