為了求解問題

因?yàn)樗欠峭沟?#xff0c;我們求解一個(gè)它的近似算法

對于一個(gè)大的τ值，它可以用下列等式接近

其中第一項(xiàng)為核范式（奇異值的和），第二項(xiàng)為Frobenius范式。

Singular Value Thresholding (SVT) 奇異值閾值

* 奇異值收縮(singular value shrinkage)*

首先我們考慮一個(gè)秩為r非負(fù)的。

對于每個(gè)τ≥0 的奇異值上，使它們趨于零。這也是為什么我們將其成為奇異值收縮(singular value shrinkage)的原因。

* Singular Value Thresholding (SVT) 奇異值閾值*

又因?yàn)槠娈愔凳湛s(singular value shrinkage)是核范式的近似操作(具體證明見[3])，因此上式可以轉(zhuǎn)化為：

它的迭代方式為：

這個(gè)算法受到壓縮感知中迭代算法的啟發(fā)，在迭代過程中對矩陣進(jìn)行SVD，然后將較小的奇異值設(shè)置為0，生成新的矩陣進(jìn)行迭代。該算法運(yùn)算速度快，對于高位低秩矩陣的恢復(fù)非常有效。

• 用拉格朗日乘子法解釋

• 原問題為：

  其拉格朗日函數(shù)為：

  強(qiáng)對偶成立，且拉格朗日函數(shù)的鞍點(diǎn)是原函數(shù)與對偶問題的最優(yōu)解，即

  其迭代解為：

  參考或延伸材料：
  [1] 斯坦福SVT軟件
  [2] Generalized Singular Value Thresholding
  [3] A singular value thresholding algorithm for matrix completion
  [4] Exact Matrix Completion via Convex Optimization

  轉(zhuǎn)載至：http://blog.csdn.net/shanglianlm/article/details/46009387

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵的秩最小化的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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