7. 設 $A\in M_n$ 正定, $1\leq k\leq n$. 則 $$\bex \prod_{j=1}^n \lm_j(A)=\max_{U^*U=I_k} \det U^*AU,\quad \prod_{j=1}^n \lm_{n-j+1}(A)=\min_{U^*U=I_k} \det U^*AU, \eex$$ 其中 $U\in M_{n,k}$.

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證明: 對 $U\in M_{n,k}$, $U^*U=I_k$, 將 $U$ 的列擴充為酉陣 $W=(U,V)$, 則 $$\bex W^*AW=\sex{U^*\atop V^*}A(U,V) =\sex{\ba{cc} U^*AU&U^*AV\\ V^*AU&V^*AV \ea}. \eex$$ 于是由 Cauchy 分離定理及 $A$ 正定知 $$\beex \bea \det U^*AU &=\prod_{j=1}^k \lm_j(U^*AU)\\ &\in \sez{ \prod_{j=1}^k \lm_{j+n-k}(W^*AW),\prod_{j=1}^k \lm_j(W^*AW)}\\ &=\sez{ \prod_{j=1}^k \lm_{j+n-k}(A),\prod_{j=1}^k \lm_j(A)}\\ &=\sez{\prod_{l=1}^k \lm_{n-l+1}(A),\prod_{j=1}^k \lm_j(A)}\quad (k+1-j=l). \eea \eeex$$ 又 $A$ 正定, 而存在酉陣 $W$ 使得 $$\bex W^*AW=\diag(\lm_1(A),\cdots,\lm_n(A)). \eex$$ 取 $U$ 為 $W$ 的前 $k$ 列, 則 $$\bex U^*AU=\prod_{j=1}^k \lm_j(A); \eex$$ 取 $U$ 為 $W$ 的后 $k$ 列, 則 $$\bex U^*AU=\prod_{j=1}^k \lm_{n-j+1}(A). \eex$$

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總結

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