設$f:X\to Y$是可逆函數，反函數為$f^{-1}:Y\to X$.設$x_0\in X,y_0\in?Y$,且$y_0=f(x_0)$(它蘊含$x_0=f^{-1}(y_0)$).如果$f$在$x_0$處可微，且$f^{-1}$在$y_0$處可微，則
\begin{equation}
\label{eq:28.13.09}
(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}
\end{equation}

證明:$(f^{-1})'(y_0)=\lim_{y_1\to y_0;y_1\neq?y_0}\frac{f^{-1}(y_1)-f^{-1}(y_0)}{y_1-y_0}$.設$f(x_1)=y_1$,則
\begin{equation}
(f^{-1})'(y_0)=\lim_{f(x_1)\to f(x_0);f(x_1)\neq
f(x_0)}\frac{x_1-x_0}{f(x_1)-f(x_0)}=\lim_{f(x_1)\to
f(x_0);f(x_1)\neq f(x_0)}\frac{1}{\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}}
\end{equation}
由于$f$在$x_0$處可微，且$f$是雙射，因此
\begin{equation}
\label{eq:28.13.49}
\lim_{f(x_1)\to f(x_0);f(x_1)\neq
f(x_0)}\frac{1}{\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}}=\lim_{x_1\to
x_0;x_1\neq x_0}\frac{1}{f'(x_0)}
\end{equation}
$\Box$

?

注1:反函數定理改進版(陶哲軒實分析定理10.4.2)設$f:X\to Y$是可逆函數，反函數為$f^{-1}:Y\to X$.設$x_0\in X,y_0\in?Y$,且$y_0=f(x_0)$(它蘊含$x_0=f^{-1}(y_0)$).如果$f$在$x_0$處可微，且$f'(x_0)\neq 0$，并且$f^{-1}$在$y_0$處連續，則$f^{-1}$在$y_0$處可微且

\begin{equation}
\label{eq:28.14.57}
(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}
\end{equation}

證明:由于$f$在$x_0$處可微，因此
\begin{equation}
\label{eq:28.14.43}
\lim_{x_1\to x_0;x_1\neq x_0}\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}
\end{equation}存在且不為0.設$f(x_1)=y_1$.由于$f^{-1}$在$y_0$處連續，所以當$y_1\to y_0$時，$x_1\to x_0$.因此\ref{eq:28.14.43}可以改寫為
\begin{equation}
\label{eq:28.14.48}
\lim_{y_1\to y_0;y_1\neq y_0}\frac{y_1-y_0}{f^{-1}(y_1)-f^{-1}(y_0)}=\frac{1}{\frac{f^{-1}(y_1)-f^{-1}(y_0)}{y_1-y_0}}
\end{equation}
可見，\ref{eq:28.14.57}成立.

?

注2:在注1中，如果$f$是從$\mathbf{R}$到$\mathbf{R}$的可逆函數，則"$f^{-1}$在$y_0$處連續"這個條件是不必要的，因為當$f$是從$\mathbf{R}$到$\mathbf{R}$的可逆函數時，已經隱含了$f$和$f^{-1}$都是連續的嚴格單調函數(為什么?).我之所以加這條注，是因為我在陶哲軒博客上的這條評論.

轉載于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2012/09/28/3828263.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的陶哲轩实分析引理10.4.1:反函数定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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