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信息学奥赛一本通 1223：An Easy Problem | OpenJudge NOI 4.6 1455:An Easy Problem

發布時間：2025/3/17 编程问答 36 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了信息学奥赛一本通 1223：An Easy Problem | OpenJudge NOI 4.6 1455:An Easy Problem 小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

【題目鏈接】

ybt 1223：An Easy Problem
OpenJudge NOI 4.6 1455:An Easy Problem

【題目考點】

1. 數制

2. 枚舉

【解題思路】

解法1：枚舉

要找比給定數字n大的最小的二進制表示中1的個數相同的數字。
先求出n在二進制表示下1的個數。
而后不斷枚舉比n大的整數，求出其二進制表示中1的個數。如果1的個數與n在二進制下1的個數相同，那么就是找到了比n大的最小的二進制表示中1的個數相同的數字。

分析算法最大復雜度：n最大是 $10^6$ ，二進制下各位全是1的情況，需要枚舉的次數最多。
已知一個x位二進制數 $11?1?x\underbrace {11\cdots 1}_x$ ，各位都是1，其數值為 $2^x-1$ 。
令 $2x?1≤1062^x-1 \le 10^6$ ，有 $\le log_2(10^6+1)\approx 19.9$ ，x最大為19。考慮比 $11?1?19\underbrace{11\cdots 1}_{19}$ 大的最小的也有19個1的二進制數字，為 $1011?1?1810\underbrace{11\cdots 1}_{18}$ ，相當于比 $1011?1?18?11?1?19=100?0?18=218=26214410\underbrace{11\cdots 1}_{18}-\underbrace{11\cdots 1}_{19}=1\underbrace{00\cdots 0}_{18} = 2^{18}=262144$ 。
即對于每個數字，至多枚舉262144次，即可得到解，每次枚舉拆分數字要循環10次。
對于每個數字，運算復雜度最大為 $10^6$ 數量級。該算法可以支持在1秒內對10~100個數字求比給定數字大的最小的二進制表示中1的個數相同的數字。題目沒說要輸入多少數字，默認不說就是小于等于100個。所以該算法是可行的。

解法2：找規律

思考，如果該二進制數末尾幾位是0，增加1后，其中1的個數就多了1個。再增加1，1的個數始終是變多的。如果數值增加后改變的位置其原位置上都是0，那么1的數量就不會減少到與原有1的數量相同。

原數字：1000
加1：1001
加1：1010
加1：1011
1的數量始終比1000要多。

只有當增加的數值與原位置上的1加和引發進位，才會使1的數量減少

原數字:1011
加1：1100：減少兩位1，增加一個進位的1。總共減少一位1。

觀察規律可知，第一次1減少的時機發生在最末尾一段連續的1發生進位的時候。
嚴格描述為：二進制數字 $d1d2?dx?x011?1?k00?0?m\underbrace{d_1d_2\cdots d_x}_x0\underbrace{11\cdots 1}_{k}\underbrace{00\cdots 0}_{m}$ （ $d1～dxd_1\sim d_x$ 為任意數字。其中x，m最小為0，k最小為1）
該數字在增加 $100?0?m1\underbrace{00\cdots 0}_{m}$ 后發生進位，成為 $d1d2?dx?x100?0?k+m\underbrace{d_1d_2\cdots d_x}_x1\underbrace{00\cdots 0}_{k+m}$ ，這次進位增加了1位1，減少了k位1，所以共減少k-1位1。
為了讓1的數量不發生改變，應該在末尾增加k-1位1，使數字變為： $d1d2?dx?x100?0?m+111?1?k?1\underbrace{d_1d_2\cdots d_x}_x1\underbrace{00\cdots 0}_{m+1}\underbrace{11\cdots 1}_{k-1}$

具體做法為

將數字轉為二進制形式，存入數組

從低位向高位遍歷，如果發現當前位是1且下一位是0的情況，說明找到了最末尾一段連續的1的最高位，記為b。

b+1位置從0變為1。如果b本身是數字的最高位，將b+1位置設為最高位。

從b開始向低位遍歷，計數得到有k個連續的1，同時將遍歷到的位置從1變為0。

從末尾位開始，連續將k-1位0變為1。

輸出數字。

該算法針對每個數字，只是對數字各位進行幾遍遍歷。小于等于 $10^6$ 的數字的二進制位為20位左右。因而針對每個數字的運算次數都是 $10$ 數量級。復雜度遠小于方法1。

【題解代碼】

解法1：枚舉

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {int n, ans;while(cin >> n && n != 0){int ct_n = 0, ct_a;//ct_n:n中1的個數 ct_a:ans中1的個數 for(int a = n; a > 0; a /= 2)if(a%2 == 1)ct_n++;for(ans = n+1; true; ans++){ct_a = 0;for(int a = ans; a > 0; a /= 2)if(a%2 == 1)ct_a++;if(ct_a == ct_n){cout<< ans << endl;break;}}}return 0; }

解法2：找規律（復雜度低）

//找最末的連續k個1，變為1加上k個0，末尾再添加k-1個1 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {int n, num[50];while(cin >> n && n != 0){memset(num, 0, sizeof(num));int b, ct = 0, ni = 0, ans = 0;//b:最末連續的1的起始位置for(int a = n; a > 0; a /= 2)num[++ni] = a % 2;for(int i = 1; i <= ni; ++i){if(num[i] == 1 && num[i+1] == 0){b = i;break;}}num[b+1] = 1;if(b+1 > ni)ni = b+1;for(int i = b; num[i] != 0; --i){ct++;num[i] = 0;}for(int i = 1; i <= ct-1; ++i)num[i] = 1;for(int i = ni; i >= 1; --i)ans = ans*2+num[i];cout << ans << endl;} return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的信息学奥赛一本通 1223：An Easy Problem | OpenJudge NOI 4.6 1455:An Easy Problem的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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