【題目鏈接】

ybt 1933：【05NOIP普及組】循環
洛谷 P1050 [NOIP2005 普及組] 循環

【題目考點】

1.高精度

2.數學

【解題思路】

要求最后k位的循環長度，可以從低位向高位看。
假設n的最后k位為$d_k{d}_{k?1}...d_2{d}_1$

• 先看最低位$d_1$，假設$d_1^{l_1}$的最后一位位是$d_1$，它的循環長度為$l_1$
• 然后看倒數兩位$d_2{d}_1$，以$(d_2{d}_1{)}^{l_1}$為單位進行累乘，可以保證結果的個位是$d_1$，假設累乘$l_2$次，$(d_2{d}_1{)}^{l_1{l}_2}$的倒數第2位是$d_2$，即末兩位是$d_2{d}_1$，循環長度為$l_1{l}_2$
• 然后看倒數3位$d_3{d}_2{d}_1$，以$(d_3{d}_2{d}_1{)}^{l_1{l}_2}$為單位進行累乘，可以保證末兩位是$d_2{d}_1$，假設累乘$l_3$次后$(d_3{d}_2{d}_1{)}^{l_1{l}_2{l}_3}$的倒數第3位是$d_3$，即末3位是$d_3{d}_2{d}_1$，那么循環長度為$l_1{l}_2{l}_3$
  以此類推，直到求出倒數k位的循環長度
• 如果累乘10次后，結果的末幾位與原數字仍然不同，那么就不會發生循環，輸出-1。

說明：
假設現在在看倒數m位，$d_m...d_2{d}_1$，以$(d_m...d_2{d}_1{)}^{l_1{l}_2...l_{m?1}}$為單位進行累乘，可以保證最后m-1位為$d_{m?1}...d_2{d}_1$。變化的只有結果的倒數第m位，該位置可能的數字只有0~9這10種。

• 如果每次乘$(d_m...d_2{d}_1{)}^{l_1{l}_2...l_{m?1}}$得到的倒數第m位都不同，那么10次累乘中，一定至少有一次其倒數第m位的值與$d_m$相同。
• 如果10次累乘中，倒數第m位都沒能等于$d_m$，說明這10次中，倒數第m位出現了重復的數字，倒數第m位數字的變化存在循環，而這個循環中沒有$d_m$這個數字。所以$d_m...d_2{d}_1$不會循環出現，應該輸出-1。

解法1：

嚴格按照上述方法執行，每次循環只看末m位，前先求累乘單位$(d_m...d_2{d}_1{)}^{l_1{l}_2...l_{m?1}}$，需要用到快速冪。

解法2：

整體思路與上述方法大體相同，不過直接取n的末k位作為累乘單位，不再分別取末1位，末2位。。。

• 先看最低位$d_1$，假設$(d_k{d}_{k?1}...d_2{d}_1{)}^{l_1}$的最后一位位是$d_1$，它的循環長度為$l_1$
• 然后看倒數兩位$d_2{d}_1$，以$(d_k{d}_{k?1}...d_2{d}_1{)}^{l_1}$為單位進行累乘，可以保證結果的個位是$d_1$，假設累乘$l_2$次，$(d_k{d}_{k?1}...d_2{d}_1{)}^{l_1{l}_2}$的倒數第2位是$d_2$，即末兩位是$d_2{d}_1$，循環長度為$l_1{l}_2$
• 然后看倒數3位$d_3{d}_2{d}_1$，以$(d_k{d}_{k?1}...d_2{d}_1{)}^{l_1{l}_2}$為單位進行累乘，可以保證末兩位是$d_2{d}_1$，假設累乘$l_3$次后$(d_k{d}_{k?1}...d_2{d}_1{)}^{l_1{l}_2{l}_3}$的倒數第3位是$d_3$，即末3位是$d_3{d}_2{d}_1$，那么循環長度為$l_1{l}_2{l}_3$
• 如此來做，上一次循環的累乘的結果可以直接作為下一次循環的累乘單位，可以省去解法1中做快速冪的過程。

【題解代碼】

代碼中幾個Multiply函數名字相同，參數個數或類型不同，構成函數重載，幾個函數都可以被正確使用。

解法1：

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define N 305 void numcpy(int a[], int b[])//b拷貝給a {for(int i = 0; i <= b[0]; ++i)//把r賦值給a a[i] = b[i]; } void Multiply(int a[], int b[], int m)//a *= b 高精乘高精 結果只取末m位 {int r[N] = {}, ri;for(int i = 1; i <= a[0]; ++i){int c = 0;for(int j = 1; j <= b[0]; ++j){r[i+j-1] += a[i]*b[j] + c;c = r[i+j-1] / 10;r[i+j-1] %= 10; }r[i+b[0]] += c;}ri = a[0] + b[0];while(r[ri] == 0 && ri > 1)ri--;r[0] = ri;if(r[0] > m)r[0] = m; numcpy(a, r); } void Multiply(int a[], int b)//a *= b 高精乘低精 {int c = 0, i;for(i = 1; i <= a[0]; ++i){a[i] = a[i]*b + c;c = a[i] / 10;a[i] %= 10; }while(c > 0){a[i] = c % 10;c /= 10;i++;}while(a[i] == 0 && i > 1)i--;a[0] = i; } void Divide(int a[], int b) //高精除低精 a/=b {int x = 0, ai;//余數 for(int i = a[0]; i >= 1; i--){x = x * 10 + a[i];a[i] = x / b;x %= b;}ai = a[0];while(a[ai] == 0 && ai > 1)ai--;a[0] = ai; } void fastPower(int a[], int b[], int m)//快速冪 a^b取末m位 ，結果保存給a {int r[N] = {1, 1}, c[N];//a為基數，c為指數，r為結果 numcpy(c, b);while(!(c[0] == 1 && c[1] == 0))//c != 0{if(c[1] % 2 == 1)//用b的個位判斷其是否是偶數 Multiply(r, a, m); Multiply(a, a, m);Divide(c, 2);}numcpy(a, r); } void tonum(int a[], char s[])//字符串轉為數字數組 {int len = strlen(s);for(int i = 1; i <= len; ++i)a[i] = s[len-i] - '0';a[0] = len; } void cutNum(int a[], int n, int b[])//截取數字a的后n位 賦值給數字b {for(int i = 1; i <= n; ++i)b[i] = a[i];b[0] = n; } int main() {int n[N] = {}, a[N] = {}, b[N] = {}, l[N] = {1,1}, k;//a：累乘單位 l:循環長度 初值為1 char s[N];cin >> s >> k;tonum(n, s);for(int i = 1; i <= k; ++i)//i:看后i位 {cutNum(n, i, a);//構造a為n的后i位 fastPower(a, l, i);//n的后i位累乘l次，使a成為累乘單位 cutNum(n, i, b);//構造b為n的后i位 bool isFound = false; //第i位的循環長度是否找到 for(int j = 1; j <= 10; ++j){Multiply(b, a, i);if(b[i] == n[i])//如果倒數第i位又變回為原來的倒數第i位 {Multiply(l, j);//找到第i位的循環長度為j isFound = true;break;}}if(isFound == false){//如果沒找到，則不存在循環長度 cout << -1;return 0;}}for(int i = l[0]; i >= 1; i--)//輸出循環長度cout << l[i]; return 0; }

解法2：

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define N 305 int k;//結果取末k位 void numcpy(int a[], int b[])//b拷貝給a {for(int i = 0; i <= b[0]; ++i)//把r賦值給a a[i] = b[i]; } void Multiply(int a[], int b[], int r[])//a * b = r 高精乘高精 結果只取末k位 {for(int i = 1; i <= a[0]; ++i){int c = 0;for(int j = 1; j <= b[0]; ++j){r[i+j-1] += a[i]*b[j] + c;c = r[i+j-1] / 10;r[i+j-1] %= 10; }r[i+b[0]] += c;}int ri = a[0] + b[0];while(r[ri] == 0 && ri > 1)ri--;r[0] = ri;if(r[0] > k)r[0] = k; } void Multiply(int a[], int b[])//a *= b 高精乘高精 結果只取末k位 {int r[N] = {};Multiply(a, b, r);numcpy(a, r); } void Multiply(int a[], int b)//a *= b 高精乘低精 {int c = 0, i;for(i = 1; i <= a[0]; ++i){a[i] = a[i]*b + c;c = a[i] / 10;a[i] %= 10; }while(c > 0){a[i] = c % 10;c /= 10;i++;}while(a[i] == 0 && i > 1)i--;a[0] = i; } void tonum(int a[], char s[])//字符串轉為數字數組 {int len = strlen(s);for(int i = 1; i <= len; ++i)a[i] = s[len-i] - '0';a[0] = len; } int main() {int n[N] = {}, a[N] = {}, b[N] = {}, c[N] = {}, l[N] = {1,1};//a：累乘單位 l:循環長度 初值為1 char s[N];cin >> s >> k;tonum(n, s);numcpy(a, n);//累乘單位a初值為nfor(int i = 1; i <= k; ++i)//i:看后i位 {bool isFound = false; //第i位的循環長度是否找到 c[0] = c[1] = 1;//c = 1; 累乘乘積 for(int j = 1; j <= 10; ++j){Multiply(c, a);//高精乘高精 c *= a;memset(b, 0, sizeof(b));Multiply(c, n, b);//高精乘高精 b = a*nif(b[i] == n[i])//如果倒數第i位又變回為原來的倒數第i位 {Multiply(l, j);//高精乘低精 找到第i位的循環長度為j isFound = true;break;}}if(isFound == false){//如果沒找到，則不存在循環長度 cout << -1;return 0;}numcpy(a, c);//使當前c的值為下一次的累乘單位a了}for(int i = l[0]; i >= 1; i--)//輸出循環長度cout << l[i]; return 0; }

總結

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