【題目鏈接】

ybt 1312：【例3.4】昆蟲繁殖
附加條件：該題結果可以由long long類型表示

【題目解析】

該題“每對成蟲過x個月產y對卵”這句有誤，實際應該為“每對成蟲過x個月每個月產y對卵”，一本通書第五版P215這道題就是這樣寫的。OJ抄錄時少了“每個月”三個字，導致理解困難。這句話描述為：

【題目考點】

1. 遞推

【解題思路】

首先要理解題意
該題中指說的蟲無論是題目還是結果，都是以“對”為單位的，不涉及“一對是兩個”這種換算。
我們認為將蟲子分為三種形態：卵，幼蟲（不能產卵），成蟲（可以產卵）
題目中每對卵要過2個月長成成蟲，每對成蟲過x個月每個月產y對卵這句話應該這樣理解：

假設這句話中x為3，y為1，我們可以假定有以下具體場景
一對成蟲在1月初產了一對卵，這對卵過2個月，在3月初變為一對幼蟲，再過3個月（也就是x個月），在6月初變為一對成蟲，這對成蟲在6月初產了一對卵。
這對新的卵過了2個月在8月初變為幼蟲，在11月初變為成蟲，并產卵。

我們把不能產卵的蟲稱為幼蟲，這樣更方便理解。

設數組a與b，a[i]表示第i個月有多少對蟲，b[i]表示第i個月出生的卵的數量。

• 現在初始狀態下只有一對剛剛從卵變成的幼蟲，要在x個月之后才能開始第一次產卵。

假設x是3，寫出具體例子理解一下：
1月初有一對剛剛從卵變成的幼蟲，3個月（也就是x個月后）在4月初這對幼蟲變為成蟲，并產卵。

幼蟲在x個月后，也就是第x+1月才能開始產卵。那么前x個月只有一對蟲，對所有i滿足$1\le i\le x$，有a[i]=1，b[i]=0。

• 類比兔子繁殖（斐波那契數列）問題中：當月的成年兔子可以分為上個月就已經是成年的兔子，和這個月剛剛成年的兔子。
  考慮某個月的蟲，可以分為上個月就已經有的蟲（成蟲或幼蟲），和這個月剛剛從卵變成的幼蟲。
  第i個月的上個月的蟲子數量為a[i-1]。
  假設蟲卵在第m月出生，那么這些卵會在第m+2月變為幼蟲。反過來想，第i個月的剛剛從卵變成的幼蟲，實際是第i-2月出生的蟲卵。第i-2月出生的蟲卵數量為b[i-2]，所以這部分幼蟲的數量為b[i-2]。
  因而有a[i] = a[i-1] + b[i-2];
• 假設第m月卵變為幼蟲，那么第m+x月幼蟲變為成蟲。反過來想：第i月的成蟲，最晚是在第i-x月從卵變為幼蟲。第i-x月后再從卵變成的幼蟲，在第i月必然是幼蟲，不是成蟲。。
  第i-x月的成蟲在第i月當然還是成蟲，第i-x月的幼蟲在第i月夜變成了成蟲，第i個月的蟲也不可能來自第i-x月之后變成的幼蟲。因此第i個月的成蟲就是第i-x月的成蟲加幼蟲，即第i-x月的總蟲數量a[i-x]。
  第i個月的產卵數量b[i]，為第i個月的成蟲數量乘以y，即b[i] = a[i-x]*y。
  題目從第1個月開始，求z個月后的蟲子數量，即為求a[z+1]
• 考慮結果可能的大小。假設x為1，y為20，a的遞推式為$a_i=a_{i?1}+20?a_{i?3}>20?a_{i?3}$，那么當z為50時，求a[z+1]為$a_{51}>20?a_{48}>20^2?a_{45}>...>20^{16}?a_3=20^{16}$，求這個數字的位數:$?20^{16}?+1\approx 23$。無法用int或long long類型表示。
  實際上確實如此，如果輸入數據為 1 20 50，將a與b的類型設為double，會得到結果約為$1.38?10^{24}$，和我們的估算是一致的。
• 只能說該題不夠嚴謹，輸入變量范圍給定的不夠準確。該題實際上如果將a與b的類型設為long long，是可以過的。

【題解代碼】

解法1：遞推

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {long long a[101], b[101];//a[i]:第i個月有多少對蟲 b[i]:第i個月出生的卵的數量 int x, y, z;cin >> x >> y >> z;for(int i = 1; i <= x; i++)//前x個月只有第一對幼年蟲 {a[i] = 1;b[i] = 0;}for(int i = x + 1; i <= z + 1; i++)//求第z個月后，即第z+1個月 {b[i] = a[i-x]*y; a[i] = a[i-1]+b[i-2];}cout << a[z+1] << endl;return 0; }

總結

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