【題目鏈接】

ybt 1312：【例3.4】昆蟲(chóng)繁殖
附加條件：該題結(jié)果可以由long long類(lèi)型表示

【題目解析】

該題“每對(duì)成蟲(chóng)過(guò)x個(gè)月產(chǎn)y對(duì)卵”這句有誤，實(shí)際應(yīng)該為“每對(duì)成蟲(chóng)過(guò)x個(gè)月每個(gè)月產(chǎn)y對(duì)卵”，一本通書(shū)第五版P215這道題就是這樣寫(xiě)的。OJ抄錄時(shí)少了“每個(gè)月”三個(gè)字，導(dǎo)致理解困難。這句話(huà)描述為：

【題目考點(diǎn)】

1. 遞推

【解題思路】

首先要理解題意
該題中指說(shuō)的蟲(chóng)無(wú)論是題目還是結(jié)果，都是以“對(duì)”為單位的，不涉及“一對(duì)是兩個(gè)”這種換算。
我們認(rèn)為將蟲(chóng)子分為三種形態(tài)：卵，幼蟲(chóng)（不能產(chǎn)卵），成蟲(chóng)（可以產(chǎn)卵）
題目中每對(duì)卵要過(guò)2個(gè)月長(zhǎng)成成蟲(chóng)，每對(duì)成蟲(chóng)過(guò)x個(gè)月每個(gè)月產(chǎn)y對(duì)卵這句話(huà)應(yīng)該這樣理解：

假設(shè)這句話(huà)中x為3，y為1，我們可以假定有以下具體場(chǎng)景
一對(duì)成蟲(chóng)在1月初產(chǎn)了一對(duì)卵，這對(duì)卵過(guò)2個(gè)月，在3月初變?yōu)橐粚?duì)幼蟲(chóng)，再過(guò)3個(gè)月（也就是x個(gè)月），在6月初變?yōu)橐粚?duì)成蟲(chóng)，這對(duì)成蟲(chóng)在6月初產(chǎn)了一對(duì)卵。
這對(duì)新的卵過(guò)了2個(gè)月在8月初變?yōu)橛紫x(chóng)，在11月初變?yōu)槌上x(chóng)，并產(chǎn)卵。

我們把不能產(chǎn)卵的蟲(chóng)稱(chēng)為幼蟲(chóng)，這樣更方便理解。

設(shè)數(shù)組a與b，a[i]表示第i個(gè)月有多少對(duì)蟲(chóng)，b[i]表示第i個(gè)月出生的卵的數(shù)量。

• 現(xiàn)在初始狀態(tài)下只有一對(duì)剛剛從卵變成的幼蟲(chóng)，要在x個(gè)月之后才能開(kāi)始第一次產(chǎn)卵。

假設(shè)x是3，寫(xiě)出具體例子理解一下：
1月初有一對(duì)剛剛從卵變成的幼蟲(chóng)，3個(gè)月（也就是x個(gè)月后）在4月初這對(duì)幼蟲(chóng)變?yōu)槌上x(chóng)，并產(chǎn)卵。

幼蟲(chóng)在x個(gè)月后，也就是第x+1月才能開(kāi)始產(chǎn)卵。那么前x個(gè)月只有一對(duì)蟲(chóng)，對(duì)所有i滿(mǎn)足$1\le i\le x$，有a[i]=1，b[i]=0。

• 類(lèi)比兔子繁殖（斐波那契數(shù)列）問(wèn)題中：當(dāng)月的成年兔子可以分為上個(gè)月就已經(jīng)是成年的兔子，和這個(gè)月剛剛成年的兔子。
  考慮某個(gè)月的蟲(chóng)，可以分為上個(gè)月就已經(jīng)有的蟲(chóng)（成蟲(chóng)或幼蟲(chóng)），和這個(gè)月剛剛從卵變成的幼蟲(chóng)。
  第i個(gè)月的上個(gè)月的蟲(chóng)子數(shù)量為a[i-1]。
  假設(shè)蟲(chóng)卵在第m月出生，那么這些卵會(huì)在第m+2月變?yōu)橛紫x(chóng)。反過(guò)來(lái)想，第i個(gè)月的剛剛從卵變成的幼蟲(chóng)，實(shí)際是第i-2月出生的蟲(chóng)卵。第i-2月出生的蟲(chóng)卵數(shù)量為b[i-2]，所以這部分幼蟲(chóng)的數(shù)量為b[i-2]。
  因而有a[i] = a[i-1] + b[i-2];
• 假設(shè)第m月卵變?yōu)橛紫x(chóng)，那么第m+x月幼蟲(chóng)變?yōu)槌上x(chóng)。反過(guò)來(lái)想：第i月的成蟲(chóng)，最晚是在第i-x月從卵變?yōu)橛紫x(chóng)。第i-x月后再?gòu)穆炎兂傻挠紫x(chóng)，在第i月必然是幼蟲(chóng)，不是成蟲(chóng)。。
  第i-x月的成蟲(chóng)在第i月當(dāng)然還是成蟲(chóng)，第i-x月的幼蟲(chóng)在第i月夜變成了成蟲(chóng)，第i個(gè)月的蟲(chóng)也不可能來(lái)自第i-x月之后變成的幼蟲(chóng)。因此第i個(gè)月的成蟲(chóng)就是第i-x月的成蟲(chóng)加幼蟲(chóng)，即第i-x月的總蟲(chóng)數(shù)量a[i-x]。
  第i個(gè)月的產(chǎn)卵數(shù)量b[i]，為第i個(gè)月的成蟲(chóng)數(shù)量乘以y，即b[i] = a[i-x]*y。
  題目從第1個(gè)月開(kāi)始，求z個(gè)月后的蟲(chóng)子數(shù)量，即為求a[z+1]
• 考慮結(jié)果可能的大小。假設(shè)x為1，y為20，a的遞推式為$a_i=a_{i?1}+20?a_{i?3}>20?a_{i?3}$，那么當(dāng)z為50時(shí)，求a[z+1]為$a_{51}>20?a_{48}>20^2?a_{45}>...>20^{16}?a_3=20^{16}$，求這個(gè)數(shù)字的位數(shù):$?20^{16}?+1\approx 23$。無(wú)法用int或long long類(lèi)型表示。
  實(shí)際上確實(shí)如此，如果輸入數(shù)據(jù)為 1 20 50，將a與b的類(lèi)型設(shè)為double，會(huì)得到結(jié)果約為$1.38?10^{24}$，和我們的估算是一致的。
• 只能說(shuō)該題不夠嚴(yán)謹(jǐn)，輸入變量范圍給定的不夠準(zhǔn)確。該題實(shí)際上如果將a與b的類(lèi)型設(shè)為long long，是可以過(guò)的。

【題解代碼】

解法1：遞推

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {long long a[101], b[101];//a[i]:第i個(gè)月有多少對(duì)蟲(chóng) b[i]:第i個(gè)月出生的卵的數(shù)量 int x, y, z;cin >> x >> y >> z;for(int i = 1; i <= x; i++)//前x個(gè)月只有第一對(duì)幼年蟲(chóng) {a[i] = 1;b[i] = 0;}for(int i = x + 1; i <= z + 1; i++)//求第z個(gè)月后，即第z+1個(gè)月 {b[i] = a[i-x]*y; a[i] = a[i-1]+b[i-2];}cout << a[z+1] << endl;return 0; }

總結(jié)

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