概念

斐波那契數(shù)列（Fibonacci sequence），又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下被以遞推的方法定義：F(0)=1，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）
在C++中可以有多種方法求斐波那契數(shù)列

問題描述

菲波那契數(shù)列是指這樣的數(shù)列: 數(shù)列的第一個和第二個數(shù)都為1，接下來每個數(shù)都等于前面2個數(shù)之和。
給出一個正整數(shù)k，要求菲波那契數(shù)列中第k個數(shù)是多少。
題目鏈接：
OpenJudge NOI 1.5 17:菲波那契數(shù)列

1. 迭代法

• 設(shè)置變量n2，n1，表示當(dāng)前已知的倒數(shù)第二項(xiàng)，和最后一項(xiàng)
• 求新的項(xiàng)t，t = n1 + n2;
• 新的倒數(shù)第二項(xiàng)是原來的最后一項(xiàng)，所以使n2 = n1;
• t將會是新的最后一項(xiàng)，有n1 = t;
• i為3時求出第3項(xiàng)，i為4時求出第4項(xiàng)，i為k時求出第k項(xiàng)。循環(huán)i從3循環(huán)到k，即可求出第k項(xiàng)

時間內(nèi)復(fù)雜度：$O(n)$，空間復(fù)雜度：$O(1)$

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {int k, n2 = 1, n1 = 1, t;//n2,n1是當(dāng)前求出的倒數(shù)第二項(xiàng)，和最后一項(xiàng) cin >> k;for(int i = 3; i <= k; ++i){t = n1 + n2;n2 = n1;n1 = t;}cout << n1;return 0; }

2. 遞推法

• 遞推狀態(tài)：a[i]為斐波那契數(shù)列第i項(xiàng)
• 遞推關(guān)系：斐波那契數(shù)列第i項(xiàng)為其前兩項(xiàng)之和，即a[i] = a[i-1]+a[i-2]
• 初始狀態(tài)：第1項(xiàng)與第2項(xiàng)值為1

時間內(nèi)復(fù)雜度：$O(n)$，空間復(fù)雜度：$O(n)$

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {int k, a[50];//a[i]為斐波那契數(shù)列第i項(xiàng)a[1] = a[2] = 1;cin >> k;for(int i = 3; i <= k; ++i)a[i] = a[i-1] + a[i-2];cout << a[k];return 0; }

3. 遞歸法（一般）

• 遞歸問題：求斐波那契數(shù)列第k項(xiàng)
• 遞歸關(guān)系：想要求第k項(xiàng)，必須先求第k-1項(xiàng)和第k-2項(xiàng)，而后將這兩項(xiàng)加和
• 遞歸出口：斐波那契數(shù)列第1和第2項(xiàng)為1

時間內(nèi)復(fù)雜度：$O(2^n)$，空間復(fù)雜度：$O(n)$

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int fib(int k)//求斐波那契數(shù)列第k項(xiàng) {if(k == 1 || k == 2)return 1;elsereturn fib(k - 1) + fib(k - 2); } int main() {int k;cin >> k;cout << fib(k);return 0; }

同一種思路，用棧將遞歸轉(zhuǎn)為非遞歸寫法

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {stack<int> stk; int n, r = 0, m;cin >> n;stk.push(n);while(stk.empty() == false){m = stk.top();//出棧stk.pop();if(m == 2 || m == 1)//如果遇到第二項(xiàng)或第一項(xiàng)，直接把值加到結(jié)果res中r += 1;else{//把后兩項(xiàng)入棧stk.push(m-1);stk.push(m-2);}}cout << r;return 0; }

用以上兩段代碼提交【OpenJudge NOI 1.5 17:菲波那契數(shù)列】會超時。該算法時間復(fù)雜度過高了，輸入40時，基本要1秒后才能得到結(jié)果。

4. 記憶化遞歸法

在遞歸算法的基礎(chǔ)上增加記憶狀態(tài)：a[i]表示斐波那契數(shù)列的第i項(xiàng)
在遞歸時，如果要求斐波那契數(shù)列第i項(xiàng)，先看這一項(xiàng)是否已經(jīng)求出來過。如果已經(jīng)求出過，那么直接取值。在求出一項(xiàng)后，將其存入記憶狀態(tài)數(shù)組中。
時間內(nèi)復(fù)雜度：$O(n)$，空間復(fù)雜度：$O(n)$

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int a[50];//a[i]:斐波那契數(shù)列第i項(xiàng) int fib(int k)//求斐波那契數(shù)列第k項(xiàng) {if(a[k] > 0)return a[k];elsereturn a[k] = fib(k-1) + fib(k-2); } int main() {int k;cin >> k;a[1] = a[2] = 1;cout << fib(k);return 0; }

5. 尾遞歸法

當(dāng)遞歸調(diào)用是整個函數(shù)體中最后執(zhí)行的語句且它的返回值不屬于表達(dá)式的一部分時，這個遞歸調(diào)用就是尾遞歸。
尾遞歸調(diào)用結(jié)束，上一次調(diào)用也就結(jié)束了，所以沒有必要存儲上一次調(diào)用中用到的臨時變量。現(xiàn)代編譯器都會針對這一特性對尾遞歸進(jìn)行優(yōu)化，減少算法的空間復(fù)雜度。
用g++編譯時，加上-O2選項(xiàng)，即可開啟尾遞歸優(yōu)化。
時間內(nèi)復(fù)雜度：$O(n)$，空間復(fù)雜度：$O(1)$

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int fib(int n1, int n2, int k)//倒數(shù)第1項(xiàng)是n1，倒數(shù)第2項(xiàng)是n2，計算k-1次 {if(k == 1)return n2;elsereturn fib(n1+n2, n1, k-1); } int main() {int k;cin >> k;cout << fib(1, 1, k);return 0; }

6. 公式法

已知求斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式$F_n=\frac{(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n?(\frac{1?\sqrt{5}}{2}{)}^n}{\sqrt{5}}$
輸入n，代入公式，即可求值
時間內(nèi)復(fù)雜度：$O(1)$，空間復(fù)雜度：$O(1)$

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {int n;cin >> n;cout << int((pow((1+sqrt(5))/2,n)-pow((1-sqrt(5))/2,n))/sqrt(5));return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【君义精讲】多种方法求斐波那契数列的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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