【題目鏈接】

ybt 1925：【03NOIP普及組】麥森數
OpenJudge NOI 4.4 1708:麥森數
洛谷 P1045 [NOIP2003 普及組] 麥森數

【題目考點】

1. 高精度

2. 求一個數字位數

設正整數x的的位數為n，那么有：$n=?lgx?+1$（$lgx$:以10為底x的對數）

證明：正整數x和它的位數n之間滿足：$n=?lgx?+1$
已知：$10^{n?1}\le x<10^n$(舉例：$10\le 15<100,100\le 168<1000$)
對不等式各邊取以10為底的對數，有：$n?1\le lgx<n$
所以有：$n?1=?lgx?$
所以：$n=?lgx?+1$

【解題思路】

• 求$2^p?1$的位數
  x-1的位數與x的位數只有在x為$10^n$（n為正整數）的情況下才不同，其它情況下一定相同。
  $2^p$一定不是$10^n$，所以$2^p?1$的位數和$2^p$的位數相同。
  根據公式$n=?lgx?+1$，求出$2^p$的位數為：
  $n=?lg{2}^p?+1=?p?lg2?+1$
• 求$2^p?1$的后500位
  當p>1時$2^p$的個位只可能是2,4,6或8，所以$2^p$與$2^p?1$只是個位不同。可以先求出$2^p$的后500位的數字，然后個位再減1即為結果。
  要求出$2^p$的后500位的數字，需要使用高精度計算。高精度數字只設為500位，如果向更高位進位，則忽略（因為更高位的數值無法影響最低的500位）。
  求$2^p$的后500位有兩種方法：

解法1：每次乘以$2^x$

p的最大值達到大約$3?10^6$，每次進行500位的運算，乘以500后，約為$1.5?10^9$，一定會超時的。
如果每次乘2，需要乘m次；那么如果每次乘4，只需要乘m/2次，每次乘8，只需要乘m/3次…每次乘$2^x$，共需要乘$m/x次$
如果x取20，那么需要乘$3?10^6/20=1.5?10^5$，再乘以500，總運算次數為$7.5?10^7$，不會超時了。
先做p%x次乘2，再做p/x次乘$2^x$，即可求出$2^p$，使用高精乘低精。

解法2：快速冪

快速冪中要求解的數字和基數都達到高精度，所以要寫高精乘高精。
快速冪進行中，要對數字或基數模500，因為只有數字或基數的末500位影響結果的末500位。

【題解代碼】

解法1：每次乘以$2^x$

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define N 1005 #define M 500 void MultiAndMod(int a[], int b)// a=a*b取末M位 高精乘低精 {int c = 0, i;//進位 for(i = 1; i <= a[0]; ++i){a[i] = a[i] * b + c;c = a[i] / 10;a[i] %= 10;}while(c > 0){a[i] = c % 10;c /= 10;i++;}while(a[i] == 0 && i > 1)i--;a[0] = i;if(a[0] > M)//限制高精度數字a的位數，忽略高于500的數字忽a[0] = M; } int main() {int p, a[N] = {}, r, m;//a：數字數組 r：剩下需要乘以2的次數 cin >> p;cout << floor(p * log10(2)) + 1 << endl;//求位數a[0] = a[1] = 1;//將a設為1m = p / 20;//m：a乘以2^20的次數r = p % 20;//r：a乘以2的次數 for(int i = 1; i <= r; ++i)MultiAndMod(a, 2);for(int i = 1; i <= m; ++i)MultiAndMod(a, 1048576);//1048576：是2^20 a[1]--;//減1 for(int i = 500; i >= 50; i -= 50)//i：起始位數 {for(int j = i; j > i-50; --j)cout << a[j];cout << endl;} return 0; }

解法2：快速冪

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define N 1005 #define M 500 void MultAndMod(int a[], int b[])//高精乘高精 a = a*b%M {int r[N] = {}, ri;for(int i = 1; i <= a[0]; ++i){int c = 0;//進位 for(int j = 1; j <= b[0]; ++j){r[i+j-1] += a[i]*b[j] + c;c = r[i+j-1] / 10;r[i+j-1] %= 10;}r[i+b[0]] += c;}ri = a[0] + b[0];while(r[ri] == 0 && ri > 1)ri--;r[0] = ri;if(r[0] > M)//只取末500位r[0] = M;for(int i = 0; i <= r[0]; ++i)//結果r賦值給aa[i] = r[i]; } int main() {int p, a[N] = {1,1}, b[N] = {1,2};//a,b是數字數組。a：結果，初值為1 b:基數，初值為2 cin >> p;//指數cout << floor(p * log10(2)) + 1 << endl;//求位數while(p > 0)//快速冪{if(p % 2 == 1)MultAndMod(a, b);//a = a*b%MMultAndMod(b, b);//b = b*b%Mp /= 2; }a[1]--;//減1 for(int i = 500; i >= 50; i -= 50)//輸出解 i：起始位數 {for(int j = i; j > i-50; --j)//輸出50個數 cout << a[j];cout << endl;} return 0; }

總結

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