【題目鏈接】

ybt 1170：計算2的N次方
OpenJudge NOI 1.6 12:計算2的N次方

【題目考點】

1. 高精度

考察：高精乘低精
高精度計算講解

2. 快速冪

【解題思路】

先估算結果的位數。指數最大為100，求$2^{100}$的位數。
已知：若正整數x的的位數為n，那么有：$n=?lgx?+1$
$2^{100}$的位數為$?lg{2}^{100}?+1=?100?lg2?+1\le ?100?lg10?+1=101$
可知結果不會超過101位，數字數組長度可以設為105

解法1：累乘

由于每次乘的數字是2，那么可以使用高精對低精乘法，盡量減少算法復雜度，高精乘低精累乘n次即可。

解法2：快速冪

低精度快速冪如下：

int Pow(int a, int b)//求a^b {int r = 1;while(b > 0){if(b % 2 == 1)r *= a;a *= a;b /= 2;}return r; }

本題要求$2^n$，$n\le 100$，n是個低精度數字。
即上述函數中的a、r替換為高精，b為低精。因此只需要實現高精度計算中的高精乘高精。

【題解代碼】

解法1：累乘

• 使用數組與函數

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define N 105 void setLen(int a[], int i) {while(a[i] == 0 && i > 1)//去除多余的0i--;a[0] = i; } void Multiply(int a[], int b)//a *= b 高精乘低精 {int c = 0, i;for(i = 1; i <= a[0]; ++i){a[i] = a[i]*b + c;c = a[i] / 10;a[i] %= 10; }while(c > 0){a[i] = c % 10;c /= 10;i++;}setLen(a, i); } void toNum(char s[], int a[]) {a[0] = strlen(s);for(int i = 1; i <= a[0]; ++i)a[i] = s[a[0] - i] - '0'; } void showNum(int a[]) {for(int i = a[0];i >= 1;--i)cout << a[i];cout << endl; } int main() {int a[N] = {1,1}, n;//高精度數字a初始化為1 cin >> n;for(int i = 1; i <= n; ++i)Multiply(a, 2);showNum(a);return 0; }

• 使用高精度數字類

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define N 105 struct HPN {int a[N];HPN(){memset(a, 0, sizeof(a));}HPN(char s[]){memset(a, 0, sizeof(a));a[0] = strlen(s);for(int i = 1; i <= a[0]; ++i)a[i] = s[a[0] - i] - '0';}int& operator [] (int i){return a[i];}void setLen(int i)//確定數字位數{while(a[i] == 0 && i > 1)i--;a[0] = i;}void operator *= (int b)//a *= b{int c = 0, i;for(i = 1; i <= a[0]; ++i){a[i] = a[i]*b + c;c = a[i] / 10;a[i] %= 10; }while(c > 0){a[i] = c % 10;c /= 10;i++;}setLen(i); }void show(){for(int i = a[0]; i >= 1; --i)cout << a[i];} }; int main() {int n;cin >> n;HPN a("1");//a初值為1 for(int i = 1; i <= n; ++i)a *= 2;a.show();return 0; }

解法2：快速冪

• 使用數組與函數

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define N 105 void setLen(int a[], int i) {while(a[i] == 0 && i > 1)//去除多余的0i--;a[0] = i; } void numcpy(int a[], int b[]) {for(int i = 0; i <= b[0]; ++i)a[i] = b[i]; } void Multiply(int a[], int b[])//a *= b 高精乘高精 {int r[N] = {};for(int i = 1; i <= a[0]; ++i){int c = 0;for(int j = 1; j <= b[0]; ++j){r[i+j-1] += a[i]*b[j] + c;c = r[i+j-1] / 10;r[i+j-1] %= 10;}r[i+b[0]] += c;}setLen(r, a[0] + b[0]);numcpy(a, r); } void toNum(char s[], int a[]) {a[0] = strlen(s);for(int i = 1; i <= a[0]; ++i)a[i] = s[a[0] - i] - '0'; } void showNum(int a[]) {for(int i = a[0];i >= 1;--i)cout << a[i];cout << endl; } void fastPower(int a[], int b, int r[])//快速冪 r = a^b 傳入前r初始化為0 {int c[N] = {};//c:變化的底數 numcpy(c, a);r[0] = r[1] = 1;//將r設為1while(b > 0){if(b % 2 == 1)Multiply(r, c);Multiply(c, c);b /= 2;} } int main() {int a[N] = {1,2}, r[N] = {}, n;//a:初值為2， r初值為空 cin >> n;fastPower(a, n, r);showNum(r);return 0; }

• 使用高精度計算類

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define N 105 struct HPN {int a[N];HPN(){memset(a, 0, sizeof(a));}HPN(char s[]){memset(a, 0, sizeof(a));a[0] = strlen(s);for(int i = 1; i <= a[0]; ++i)a[i] = s[a[0] - i] - '0';}int& operator [] (int i){return a[i];}void setLen(int i)//確定數字位數{while(a[i] == 0 && i > 1)i--;a[0] = i;}HPN operator * (HPN b)//r = a * b{HPN r;for(int i = 1; i <= a[0]; ++i){int c = 0;for(int j = 1; j <= b[0]; ++j){r[i+j-1] += a[i]*b[j] + c;c = r[i+j-1] / 10;r[i+j-1] %= 10;}r[i+b[0]] += c;}r.setLen(a[0] + b[0]);return r;}HPN operator ^ (int b)//快速冪 求a^b {HPN c = *this, r("1"); while(b > 0){if(b % 2 == 1)r = r * c;c = c * c;b /= 2;}return r;}void show(){for(int i = a[0]; i >= 1; --i)cout << a[i];} };int main() {int n;cin >> n;HPN a("2"), r;r = a ^ n;//快速冪求乘方 r.show();return 0; }

總結

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