【題目鏈接】

ybt 1324：【例6.6】整數區間

【題目考點】

1. 貪心

2. 貪心選擇性質的證明

要想證明貪心選擇可以得到最優解，只需要證明最優解包含每一次的貪心選擇。
使用數學歸納法：

證明最優解包含第一次的貪心選擇

假設存在最優解包含前k次的貪心選擇，證明該最優解包含第k+1次的貪心選擇

【解題思路】

每次選擇右端最小的區間的右端數字，并刪掉所有包含該數字的區間。
用數學語言說，現有區間：$e_1=[l_1,r_1],e_2=[l_2,r_2],...,e_n=[l_n,r_n]$
選擇右端點r最小的區間$e_m=[l_m,r_m]$，刪掉所有滿足$r_m\in e_x$的區間$e_x$

1. 貪心選擇性質的證明：

貪心選擇：每次選擇右端最小的區間的右端點數字

證明：存在最優解包含右端最小的區間的右端點數字

記右端最小的區間為$e_m=[l_m,r_m]$，證明存在最優解包含$r_m$
使用反證法：假設所有最優解都不包含$r_m$
對于某一最優解，根據題意：“對于每一個區間,都至少有一個整數屬于該集合”，所以一定要在區間$e_m$中選擇一個數字。假設該最優解中選擇了區間$e_m$中的數字$x$且$x=r_m$，包含x的區間有p個，組成的集合為：$E_x=\{e_{x1},e_{x2},...,e_{xp}\}$，選擇x后，這些區間都被刪掉，不再被考慮。
現在考慮在該最優解中用$r_m$替換$x$，包含$r_m$的區間有q個，組成集合為：$E_r=\{e_{r1},e_{r2},...,e_{rq}\}$，由于$e_m$是右端最小的區間，所以$E_x$中的所有區間的右端都大于等于$r_m$，也就是說$r_m$在$E_x$的每個區間中，亦即$E_x?E_r$。選擇$r_m$后，$E_r$中的所有區間都被刪除，包括了$E_x$中的所有區間。該最優解中其他數字不變，仍然可以形成一組最優解。而這組最優解包含了$r_m$，與假設相悖。因而原命題得證。

證明：在k次貪心選擇后，存在最優解包含這一次的貪心選擇：剩余的區間中右端最小的區間的右端點數字

證明方法與證明第1點相似，不再贅述。

2. 具體做法

將所有區間排序，排序規則為：右端小的排在前面；如果右端相同，那么左端小的排在前面。
按順序遍歷各個區間，選擇當前區間的右端點并記錄，選擇的數字個數加1。
繼續遍歷，如果當前區間的左端點小于等于之前記錄的右端點，那么略過這個區間。
如果當前區間左端點大于之前記錄的右端點，那么選擇當前區間的右端點并記錄，選擇的數字個數加1。
重復上述過程，直至遍歷完所有區間。

【題解代碼】

解法1：貪心

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; struct Sec {int l, r;//l：區間左端點 r：區間右端點 }; bool cmp(const Sec &a, const Sec &b) {//右端點更小的排在前面，右端點相同則左端點更小的在前面 if(a.r == b.r)return a.l < b.l;elsereturn a.r < b.r; } int main() {Sec s[10005];int n, ct = 0, lastR = -1;//lastR:上一個選擇的右端點 ct:選擇的數字個數cin >> n;for(int i = 1; i <= n; ++i)cin >> s[i].l >> s[i].r;sort(s+1, s+1+n, cmp);for(int i = 1; i <= n; ++i){if(s[i].l > lastR){ct++;lastR = s[i].r; }}cout << ct;return 0; }

總結

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