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ybt 2040：【例5.7】篩選法找質(zhì)數(shù)

【題目考點】

1. 普通篩法找質(zhì)數(shù)（埃拉托色尼篩法）

基本思想：把從2到N的一組正整數(shù)從小到大按順序排列。從中依次刪除2的倍數(shù)、3的倍數(shù)、5的倍數(shù)，直到$\sqrt{N}$的倍數(shù)為止，剩余的即為2~N之間的所有質(zhì)數(shù)。
普通篩法復(fù)雜度為:$O(nloglogn)$

為什么直到$\sqrt{N}$的倍數(shù)為止，以下是證明：

• 命題：對于整數(shù)n滿足$\sqrt{N}<n\le N$，n是質(zhì)數(shù)，或n是合數(shù)時，存在一個整數(shù)a滿足$a\le \sqrt{N}$，a是n的因數(shù)。
• 證明：顯然n可以是質(zhì)數(shù)。如果n是合數(shù)，使用反證法。
• 假設(shè)n是合數(shù)時，n的因數(shù)（除了1）都大于$\sqrt{N}$。由于n是合數(shù)，n至少有兩個不為1或n的因數(shù)，設(shè)為a，b，且存在等式$a?b?x=n$，其中x是某個正整數(shù)。
  有$a>\sqrt{N},b>\sqrt{N}?a?b>N\ge n$，即$a?b>n$
  根據(jù)$a?b?x=n$，有$a?b\le n$
  出現(xiàn)矛盾，因而假設(shè)不成立，原命題得證。

2. 線性篩（歐拉篩）

基本思想：讓每個合數(shù)只通過它最小的質(zhì)因數(shù)被篩掉。

例：
8的最小質(zhì)因數(shù)是2，那么讓合數(shù)8通過質(zhì)數(shù)2被篩掉。
15的最小質(zhì)因數(shù)是3，那么讓合數(shù)15通過質(zhì)數(shù)3被篩掉。

普通篩法中，數(shù)字可能會被多次篩掉，線性篩中，每個數(shù)字只被篩掉一次。
線性篩法復(fù)雜度為:$O(n)$
線性篩的字面意思就是該算法的復(fù)雜度為線性的。

例：對于合數(shù)15
在普通篩法中：看質(zhì)數(shù)3的倍數(shù)時，15被篩掉一次，看質(zhì)數(shù)5的倍數(shù)時，15被篩掉一次。
在線性篩中： 15只會通過質(zhì)數(shù)3被篩掉一次。

線性篩法中，維護一個質(zhì)數(shù)數(shù)組prime[]。
算法如下：

• 每次循環(huán)觀察一個數(shù)字i
• 如果i是質(zhì)數(shù)，加入質(zhì)數(shù)數(shù)組
• 無論i是不是質(zhì)數(shù)，都順序遍歷質(zhì)數(shù)數(shù)組，取到的質(zhì)數(shù)為prime[j]
  • 只要i不是prime[j]的倍數(shù)，那么prime[j]就是i*prime[j]的最小質(zhì)因數(shù)。i*prime[j]這個合數(shù)通過prime[j]這個最小質(zhì)因數(shù)被篩掉了。
  • 如果i是prime[j]的倍數(shù)，則跳出循環(huán)

原理解釋如下：

• 由于prime數(shù)組中的質(zhì)數(shù)是遞增的，在遍歷prime數(shù)組的過程中，只要沒有遇到i是prime[j]的倍數(shù)的情況，那么prime[j]一定是i*prime[j]的最小質(zhì)因數(shù)。當(dāng)?shù)谝淮斡龅絠是prime[j]的倍數(shù)的情況時，prime[j]仍然是i*prime[j]的最小質(zhì)因數(shù)。
• 如果繼續(xù)看prime[j]后面第x個質(zhì)數(shù)（x大于等于1），此時要判斷數(shù)字Y=i*prime[j+x]是否要被篩掉。由于prime[j+x] > prime[j]，i已經(jīng)具有更小的質(zhì)因數(shù)prime[j]，所以數(shù)字Y的最小質(zhì)因數(shù)是prime[j]而不是prime[j+x]，所以Y這個數(shù)不應(yīng)該在i為這個值時被篩掉，它應(yīng)該在i為Y/prime[j]時被篩掉。

例：假設(shè)i是25。25不是2的倍數(shù)，那么2是2*25的最小質(zhì)因數(shù)，25也不是3的倍數(shù)，那么3是3*25的最小質(zhì)因數(shù)，25是5的倍數(shù)，5仍然是5*25的最小質(zhì)因數(shù)。
25不是7的倍數(shù)，7不是7*25的最小質(zhì)因數(shù)了。7*25=175被篩掉的時機是：當(dāng)i循環(huán)到35時，175=35*5，5是175的最小質(zhì)因數(shù)，175通過質(zhì)數(shù)5被篩掉。

【題解代碼】

解法1：普通篩法（埃拉托色尼篩法）

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {bool isPrime[1005] = {};//isPrime[i]:i是否是質(zhì)數(shù) int n;cin >> n;for(int i = 2; i <= n; ++i)//初值狀態(tài)下，把每個數(shù)字都標(biāo)記為質(zhì)數(shù) isPrime[i] = true;//isPrime[0],與isPrime[1]都為false，0,1都不是質(zhì)數(shù) for(int i = 2; i <= int(sqrt(n)); ++i){if(isPrime[i]){for(int j = 2*i; j <= n; j += i)//如果一個數(shù)字是某質(zhì)數(shù)的倍數(shù)，那么把它標(biāo)記為合數(shù) isPrime[j] = false;}}for(int i = 2; i <= n; ++i){if(isPrime[i])cout << i << endl;}return 0; }

解法2：線性篩（歐拉篩）

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {bool isPrime[1005] = {};//isPrime[i]:i是否是質(zhì)數(shù) int n, prime[1005], psize = 0;//prime:質(zhì)數(shù)數(shù)組 psize:prime數(shù)組長度 cin >> n;for(int i = 2; i <= n; ++i)//初值狀態(tài)下，把每個數(shù)字都標(biāo)記為質(zhì)數(shù) isPrime[i] = true;//isPrime[0],與isPrime[1]都為false，0,1都不是質(zhì)數(shù) for(int i = 2; i <= n; ++i){if(isPrime[i])//如果i是質(zhì)數(shù) prime[++psize] = i;//將i填充到指數(shù)數(shù)組prime for(int j = 1; j <= psize && i*prime[j] <= n; ++j)//遍歷質(zhì)數(shù)數(shù)組 {//篩去當(dāng)前觀察的數(shù)i與某質(zhì)數(shù)prime[j]的乘積isPrime[i*prime[j]] = false;//i*prime[j]這個數(shù)通過prime[j]篩掉 if(i%prime[j] == 0)break;}}for(int i = 2; i <= n; ++i){if(isPrime[i])cout << i << endl;}return 0; }

總結(jié)

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