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信息学奥赛一本通 1034：计算三角形面积 | OpenJudge NOI 1.3 17

發(fā)布時間：2025/3/17 编程问答 18 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了信息学奥赛一本通 1034：计算三角形面积 | OpenJudge NOI 1.3 17 小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.

【題目鏈接】

ybt 1034：計算三角形面積
OpenJudge NOI 1.3 17:計算三角形面積

【題目考點】

1. 已知三點求三角形面積公式

已知三點分別為 $x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$
先給出結(jié)論：這三個點圍成的三角形的面積為：
$S=12∣x1y2+x2y3+x3y1?x1y3?x2y1?x3y2∣S=\frac{1}{2}|x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1-x_1y_3-x_2y_1-x_3y_2|$

推導過程：

記 $a?=(x2?x1,y2?y1),b?=(x3?x1,y3?y1)\vec{a} = (x_2-x_1,y_2-y_1), \vec{b} = (x_3-x_1,y_3-y_1)$
已知向量點積公式 $a??b?=∣a?∣∣b?∣cosθ\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|cos\theta$ ，其中 $θ\theta$ 是向量 $a?,b?\vec{a}, \vec{b}$ 的夾角。
有 $cosθ=a??b?∣a?∣∣b?∣cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
已知 $sin2θ+cos2θ=1sin^2\theta + cos^2\theta = 1$ ，且 $θ<π\(zhòng)theta<\pi$
有 $sinθ=1?cons2θ=(∣a?∣∣b?∣)2?(a??b?)2∣a?∣∣b?∣sin\theta = \sqrt{1-cons^2\theta} = \frac{\sqrt{(|\vec{a}||\vec{b}|)^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
已知三角形面積公式: $\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|sin\theta$
有 $S=12∣a?∣∣b?∣(∣a?∣∣b?∣)2?(a??b?)2∣a?∣∣b?∣=12(∣a?∣∣b?∣)2?(a??b?)2\begin{aligned} S &= \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\frac{\sqrt{(|\vec{a}||\vec{b}|)^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\\ &= \frac{1}{2}\sqrt{(|\vec{a}||\vec{b}|)^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}\\ \end{aligned}$
$∣a?∣=(x2?x1)2+(y2?y1)2|\vec{a}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
$∣b?∣=(x3?x1)2+(y3?y1)2|\vec{b}| = \sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}$
$a??b?=(x2?x1)(x3?x1)+(y2?y1)(y3?y1)\vec{a} \cdot \vec{b} = (x_2-x_1)(x_3-x_1)+(y_2-y_1)(y_3-y_1)$
根據(jù)以上公式： $\frac{1}{2}\sqrt{(|\vec{a}||\vec{b}|)^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$
已經(jīng)可以做到輸入 $x_1,y_1, x_2,y_2, x_3,y_3$ ，求S。
繼續(xù)化歸，可以得到公式
$S=12∣x1y2+x2y3+x3y1?x1y3?x2y1?x3y2∣S=\frac{1}{2}|x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1-x_1y_3-x_2y_1-x_3y_2|$

2. 海倫公式：已知三條邊的長度求三角形面積

設 $|\vec{a}|, b = |\vec{b}|, c = |\vec{c}|$ ，
已知 $a?=(x2?x1,y2?y1),b?=(x3?x1,y3?y1),c?=(x3?x2,y3?y2)\vec{a} = (x_2-x_1,y_2-y_1), \vec{b} = (x_3-x_1,y_3-y_1), \vec{c} = (x_3-x_2,y_3-y_2)$
有：

$|\vec{a}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
$|\vec{b}| = \sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}$
$|\vec{c}| = \sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}$
半周長 $\frac{1}{2}(a+b+c)$
海倫公式，三角形面積 $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

3. 求一個數(shù)的絕對值

求整數(shù)的絕對值：int abs(int a);
求浮點型數(shù)的絕對值：double fabs(double a);

【題解代碼】

解法1：用公式 $\frac{1}{2}\sqrt{(|\vec{a}||\vec{b}|)^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {double x1,y1,x2,y2,x3,y3,a_m,b_m,adotb,res;cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>x3>>y3;a_m = sqrt((x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1));//|a|b_m = sqrt((x3-x1)*(x3-x1) + (y3-y1)*(y3-y1));//|b|adotb = (x2-x1)*(x3-x1)+(y2-y1)*(y3-y1);//a點乘b res = 0.5 * sqrt(a_m*b_m*a_m*b_m-adotb*adotb);//結(jié)果 cout<<fixed<<setprecision(2)<<res<<endl;return 0; }

解法2：用公式 $S=12∣x1y2+x2y3+x3y1?x1y3?x2y1?x3y2∣S=\frac{1}{2}|x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1-x_1y_3-x_2y_1-x_3y_2|$

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {double x1,y1,x2,y2,x3,y3;cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>x3>>y3;cout<<fixed<<setprecision(2)<<fabs((x1*y2+x2*y3+x3*y1-x1*y3-x2*y1-x3*y2))/2;return 0; }

解法3：用海倫公式 $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {double x1,y1,x2,y2,x3,y3,a,b,c,p;cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>x3>>y3;a = sqrt((x2-x1)*(x2-x1) + (y2-y1)*(y2-y1));//|a|b = sqrt((x3-x1)*(x3-x1) + (y3-y1)*(y3-y1));//|b|c = sqrt((x3-x2)*(x3-x2) + (y3-y2)*(y3-y2));//|c|p = (a + b + c)/2;//p半周長 cout<<fixed<<setprecision(2)<<sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))<<endl;return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的信息学奥赛一本通 1034：计算三角形面积 | OpenJudge NOI 1.3 17的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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