【題目鏈接】

ybt 2033：【例4.19】階乘之和

【題目考點】

1. 同余定理

根據同余定理，有：
$(a?b)\%m=(a\%m?b\%m)\%m$
$(a+b)\%m=(a\%m+b\%m)\%m$

2. 循環嵌套

3. 階乘

n的階乘為$n!=1?2?...?n$
實現函數如下：

int fact(int n) {int s = 1;for(int i = 1; i <= n; ++i)s *= i;return s; }

【解題思路】

• 一個直接的思路是：求出每個數的階乘，加和，而后對M取模(設M的值為1000000)，就可以得到結果的末6位。但階乘的結果很大，會超出int以及long long類型可以表示的數字范圍，所以必須一邊計算一邊取模。
  $ans=1!+2!+...+n!$
  根據同余定理，有：
  $ans\%M=(1!\%M+2!\%M+...+n!\%M)\%M$
  $n!\%M=(n\%M?(n?1)!\%M)\%M$
  可以先求每個階乘模M的值，然后將這些結果加起來，一邊加一邊對M取模，即可。
• 如果分別對每個數值求階乘，需要做n次階乘，每次階乘的復雜度是$O(n)$，總體復雜度是$O(n^2)$，而本問題n達到$10^6$，$O(n^2)$會超時。
• 考慮到當$n\le M$時：$n!\%M=(n?(n?1)!\%M)\%M$，我們可以借助上一次的階乘結果$(n?1)!\%M$，乘上數字n再對M取模，即可得到$n!\%M$。這樣求每個階乘的復雜度是$O(1)$，總體復雜度是$O(n)$，可以通過。

【題解代碼】

解法1：

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define M 1000000 //設置常量，下面M就是1000000 int main() {int n, num = 1, sum = 0;//num：階乘%M sum：階乘和%M cin >> n;for(int i = 1; i <= n; ++i){num = num * i % M;sum = (sum + num) % M;}cout << sum;return 0; }

總結

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