1237：求排列的逆序數(shù)

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【題目描述】

在Internet上的搜索引擎經(jīng)常需要對信息進(jìn)行比較，比如可以通過某個(gè)人對一些事物的排名來估計(jì)他（或她）對各種不同信息的興趣，從而實(shí)現(xiàn)個(gè)性化的服務(wù)。

對于不同的排名結(jié)果可以用逆序來評價(jià)它們之間的差異。考慮1,2,…,n的排列i1，i2，…，in，如果其中存在j,k，滿足j<k,且ij>ik，那么就稱(ij,ik)是這個(gè)排列的一個(gè)逆序。

一個(gè)排列含有逆序的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)。例如排列?263451?含有8個(gè)逆序(2,1),(6,3),(6,4),(6,5),(6,1),(3,1),(4,1),(5,1)，因此該排列的逆序數(shù)就是8。顯然，由1,2,…,n?構(gòu)成的所有n!個(gè)排列中，最小的逆序數(shù)是0，對應(yīng)的排列就是1,2,…,n；最大的逆序數(shù)是n(n?1)/2，對應(yīng)的排列就是n,(n?1),…,2,1。逆序數(shù)越大的排列與原始排列的差異度就越大。

現(xiàn)給定1,2,…,n的一個(gè)排列，求它的逆序數(shù)。

【輸入】

第一行是一個(gè)整數(shù)n，表示該排列有n個(gè)數(shù)（n<=100000)。

第二行是n個(gè)不同的正整數(shù)，之間以空格隔開，表示該排列。

【輸出】

輸出該排列的逆序數(shù)。

【輸入樣例】

6 2 6 3 4 5 1

【輸出樣例】

8

【分析】

? ? ? ? 這道題，首先能想到的就是枚舉，i∈[0,n-1]，j∈[i+1,n]，約束條件：a[i]>a[j]，計(jì)數(shù)+1，然而n的數(shù)據(jù)范圍是10^5，直接枚舉，O(n^2)，鐵定超時(shí)。正確率60%的代碼如下：

//60% 的超時(shí)版 #include <stdio.h> #define N 100010 int a[N];int main() {int i,j,n,cnt=0;scanf("%d",&n);for(i=0;i<n;i++)scanf("%d",&a[i]);for(i=0;i<n-1;i++){for(j=i+1;j<n;j++){if(a[i]>a[j])cnt++;}}printf("%d\n",cnt);return 0; }

? ? ? ? 該題放到的分治法，顯然可以用到歸并排序，在歸并排序的過程中，計(jì)算逆序?qū)Αw并排序算法的效率是O(n*lgn)。

? ? ? ? 以樣例數(shù)據(jù)為例，先將263451劃分為兩個(gè)部分，第一部分263，第二部分451，假設(shè)現(xiàn)在兩個(gè)部分均已排序完畢，第一部分為236，第二部分為145，則令i=2，j=1，比較i，j的值，統(tǒng)計(jì)逆序?qū)Α？梢哉页?2,1),(3,1),(6,1),(6,4),(6,5)。同理在遞歸排序第一部分時(shí)，可以找出(6,3)，遞歸排序第二部分時(shí)，可以找出(4,1)和(5,1)。

【參考代碼】

#include <stdio.h> #define N 100010 long long a[N],tmp[N]; long long cnt;void merge(long long left,long long mid,long long right) {long long i,j,k;i=left;j=mid+1;k=left;while(i<=mid && j<=right){if(a[i]>a[j]){cnt+=j-k;tmp[k++]=a[j++];}else{tmp[k++]=a[i++];}}while(i<=mid)tmp[k++]=a[i++];while(j<=right)tmp[k++]=a[j++];for(i=left;i<=right;i++)a[i]=tmp[i]; } void merge_sort(long long left,long long right) {long long mid;if(left==right)return;mid=(left+right)/2;merge_sort(left,mid);merge_sort(mid+1,right);merge(left,mid,right); } int main() {int i,n;scanf("%d",&n);for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]);merge_sort(1,n);printf("%lld\n",cnt);return 0; }

http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1237

總結(jié)

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