1261：【例9.5】城市交通路網(wǎng)

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【題目描述】

下圖表示城市之間的交通路網(wǎng)，線段上的數(shù)字表示費(fèi)用，單向通行由A->E。試用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的最優(yōu)化原理求出A->E的最省費(fèi)用。

如圖：求v1到v10的最短路徑長(zhǎng)度及最短路徑。

【輸入】

第一行為城市的數(shù)量N;

后面是N*N的表示兩個(gè)城市間費(fèi)用組成的矩陣。

【輸出】

A->E的最省費(fèi)用。

【輸入樣例】

10 0 2 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 14 0 0 0 0 0 0 0 0 6 10 4 0 0 0 0 0 0 0 13 12 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 9 0 0 0 0 0 0 0 0 6 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

【輸出樣例】

minlong=19 1 3 5 8 10

【分析】

? ? ? ? 設(shè)a[i][j]存儲(chǔ)距離矩陣，表示城市 i 到城市 j 的距離，f[i]記錄從i~n的最短路徑，pre[i]記錄f[i]的前驅(qū)結(jié)點(diǎn)。逆推實(shí)現(xiàn)。

（1）劃分階段。

? ? ? ? 階段：如圖所示；樣例中共有4個(gè)階段。

（2）確定狀態(tài)和狀態(tài)變量。

? ? ? ? 狀態(tài)：城市編號(hào)劃分狀態(tài)。狀態(tài)信息用a[i][j]表示。

（2）確定決策并寫(xiě)出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。

? ? ? ? f[j]的值從哪來(lái)？當(dāng)然是從后面f[i]來(lái)。決策：同階段的城市中選哪一個(gè)？策略：最短路徑。故，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程： f[i]=min{ a[i][j]+f[j] | a[i][j]>0, j<i<=n }。

（4）尋找邊界條件。

? ? ? ? 逆推時(shí)， 邊界：f[n]=0。目標(biāo)：f[1]。?

（5）設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)程序。

【參考代碼】

#include <stdio.h> #define inf 0x3f3f3f3f #define N 110int a[N][N]; //鄰接矩陣，表示城市i到城市j的距離 int f[N]; //f[i]記錄從i~n的最短路徑 int pre[N]; //記錄f[i]前驅(qū)結(jié)點(diǎn) int n; //圖中頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)void floyd() {int i,j,k;f[n]=0; for(i=n-1;i>=1;i--) //從終點(diǎn)往前逆推，計(jì)算最短路徑for(j=i+1;j<=n;j++) //f[j]=inf,表示城市j到終點(diǎn)城市不通 {if(a[i][j]>0 && f[j]!=inf ) //i到j(luò)點(diǎn)通，j到終點(diǎn)通 {if(f[i]>a[i][j]+f[j]){f[i]=f[j]+a[i][j]; //城市i到終點(diǎn)n最短路徑pre[i]=j; //記錄f[i]的前驅(qū)結(jié)點(diǎn)，即f[j]點(diǎn) }}} }int main() {int i,j,k;scanf("%d",&n);for(i=1;i<=n;i++) //輸入各城市之間的距離 for(j=1;j<=n;j++)scanf("%d",&a[i][j]);for(i=1;i<=N;i++) //初始化，默認(rèn)每個(gè)城市到達(dá)終點(diǎn)的距離為無(wú)窮大 f[i]=inf;floyd();printf("minlong=%d\n",f[1]); //輸出1~n的最短路徑值k=1;while(k!=0) //輸出路過(guò)的各個(gè)城市{printf("%d ",k);k=pre[k];}printf("\n");return 0; }

http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1261

總結(jié)

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