【題目鏈接】

ybt 1258：【例9.2】數(shù)字金字塔

【題目考點】

1. 記憶化搜索

2. 動態(tài)規(guī)劃基本型

【解題思路】

思路1：一般深搜（非正確解）

每到一個位置，更新加和，向左下，右下兩個方向搜索。
搜索到最后一行，判斷當(dāng)前加和是否大于最大加和，更新最大加和。
該搜索過程實際上對很多問題重復(fù)計算了很多次，因而時間復(fù)雜度較高。只能解決小規(guī)模的問題，如果提交該代碼的話，必定超時！

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define N 1005 int a[N][N], r; int maxSum, sum;//最大加和 //從第i，j位置開始搜索 void dfs(int i, int j) {sum += a[i][j];if(i == r)//i==r時，是最下面一行{if(sum > maxSum)//更新最大加和maxSum = sum;}else//只要不是最后一行。{//i，j左下的位置是：i+1,j，右下的位置是：i+1,j+1dfs(i + 1, j);dfs(i + 1, j + 1);}sum -= a[i][j]; } int main() {cin>>r;for(int i = 1; i <= r; ++i){for(int j = 1; j <= i; ++j)cin>>a[i][j];}dfs(1, 1);cout<<maxSum;return 0; }

思路2：記憶化遞歸

思路3：順推法

思路4：逆推法

【題解代碼】

解法1：記憶化遞歸

設(shè)二維數(shù)組sumMx，sumMx[i][j]記錄i，j位置到底層的最大加和。

• 遞歸問題為：求第i，j位置到底層的最大加和。
• 遞歸函數(shù)中：
  • 如果在sumMx中已經(jīng)記錄了i，j位置到底層的最大加和，則直接返回該值。
  • 如果沒有記錄，那么最大加和為：“該位置左下方位置到底層的最大加和”，和“該位置右下方位置到底層的最大加和”中的最大值，加上該位置的值。而后記錄該值。
    i，j的左下方位置：i+1,j，右下方位置：i+1,j+1，所以該表達式為：
    sumMx[i][j] = a[i][j] + max(dfs(i+1, j), dfs(i+1, j+1));
• 遞歸退出條件：到達底層

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define N 1005 int a[N][N], r;//a:原始數(shù)據(jù)，r：行數(shù) int sumMx[N][N];//sumMx[i][j]：記錄i，j位置到底層的最大加和 int maxSum, sum;//maxSum：最大加和，sum：臨時加和 //求第i，j位置到底層的最大加和 int dfs(int i, int j) {if(sumMx[i][j] == -1)//如果這里沒有記錄{if(i == r)//如果已經(jīng)到底層sumMx[i][j] = a[i][j];//從該點到底層的最大加和就是該位置的值elsesumMx[i][j] = a[i][j] + max(dfs(i+1, j), dfs(i+1, j+1));}return sumMx[i][j]; } int main() {cin>>r;for(int i = 1; i <= r; ++i)for(int j = 1; j <= i; ++j)cin>>a[i][j];memset(sumMx, -1, sizeof(sumMx));//將sumMx數(shù)組初值設(shè)為-1，表示這里沒有記錄數(shù)據(jù)cout<<dfs(1, 1);return 0; }

解法2：順推法

• 設(shè)二維數(shù)組sumMx，sumMx[i][j]記錄從1，1位置到i，j位置的最大加和
• 1，1到i，j位置的加和，為1，1到i，j位置左上右上兩個位置的加和的最大值，加上i，j位置的值。
  i，j左上位置為i-1，j-1；右上位置為i-1，j
  所以有：sumMx[i][j] = max(sumMx[i-1][j-1], sumMx[i-1][j]) + a[i][j];
  初始情況sumMx[1][1] = a[1][1];
  以此可以推出從1,1到底層各位置的最大加和，取其中最大值即可。

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define N 1005 int a[N][N], r;//a:原始數(shù)據(jù)，r：行數(shù) int sumMx[N][N];//sumMx[i][j]：記錄從1，1到i，j位置的最大加和 int mxVal;//最大加和 int main() {cin>>r;for(int i = 1; i <= r; ++i)for(int j = 1; j <= i; ++j)cin>>a[i][j];sumMx[1][1] = a[1][1];for(int i = 2; i <= r; ++i)for(int j = 1; j <= i; ++j){sumMx[i][j] = max(sumMx[i-1][j-1], sumMx[i-1][j]) + a[i][j];if(i == r)//求第r行的最大值{if(sumMx[i][j] > mxVal)mxVal = sumMx[i][j];}}cout<<mxVal;return 0; }

解法3：逆推法

設(shè)數(shù)組sumMx[i][j]表示從底層某位置到i，j的最大加和。
從底層向上層遞推。

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define N 1005 int a[N][N], r;//a:原始數(shù)據(jù)，r：行數(shù) int sumMx[N][N];//sumMx[i][j]：記錄從底層到i，j位置的最大加和 int mxVal;//最大加和 int main() {cin>>r;for(int i = 1; i <= r; ++i)for(int j = 1; j <= i; ++j)cin>>a[i][j];for(int i = 1; i <= r; ++i)//底層到底層的和，即為該位置的值sumMx[r][i] = a[r][i];for(int i = r - 1; i >= 1; --i)//從倒數(shù)第二行遍歷到第1行for(int j = 1; j <= i; ++j)sumMx[i][j] = max(sumMx[i+1][j], sumMx[i+1][j+1]) + a[i][j];//i，j位置的加和為其下面兩個位置的加和中的最大值加上本位置的值cout<<sumMx[1][1];//底層某位置到1，1的最大加和，即為要求的值return 0; }

總結(jié)

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