1266：【例9.10】機器分配

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【題目描述】

總公司擁有高效設備M臺，準備分給下屬的N個分公司。各分公司若獲得這些設備，可以為國家提供一定的盈利。問：如何分配這M臺設備才能使國家得到的盈利最大？求出最大盈利值。其中M≤15，N≤10。分配原則：每個公司有權獲得任意數目的設備，但總臺數不超過設備數M。

【輸入】

第一行有兩個數，第一個數是分公司數N，第二個數是設備臺數M；

接下來是一個N*M的矩陣，表明了第 I個公司分配 J臺機器的盈利。

【輸出】

第一行輸出最大盈利值；

接下N行，每行有2個數，即分公司編號和該分公司獲得設備臺數。

【輸入樣例】

3 3 //3個分公司分3臺機器 30 40 50 20 30 50 20 25 30

【輸出樣例】

70 //最大盈利值為70 1 1 //第一分公司分1臺 2 1 //第二分公司分1臺 3 1 //第三分公司分1臺

【分析】

? ? ? ? 按照公司的順序來分配機器，即按照公司的順序劃分階段，第一個階段把 m 臺設備分給第一個公司，記錄下來獲得的各個盈利值，然后把 m 臺設備分給前兩個公司，和第一個階段比較記錄下來更優的各個盈利值，一直到第 n 個階段把 m臺機器全部分給了n個公司，就可以得到最優解，下面來討論兩個階段之間的關系，設數組 f[i][j]表示前 i 個公司分配?j 臺機器的最大盈利，數組 f[i-1][k]表示前 i-1 個公司分配 K 臺機器的最大盈利（1<=i<=n，1<=j<=m，0<=k<=j），用value[i][j]表示第 i 個公司分配 j 臺機器的盈利，則 f[i][j]可以由下面的式子中取最大值獲得∶
? ? ? ? f[i-1][0]+value[i][j]? ? ? ?//前 i-1 公司分配 0 臺機器最大盈利＋第 1 個公司分配 j 臺的機器的盈利

? ? ? ? f[i-1][1]+value[i][j-1]? ? //前 i-1 公司分配 1 臺機器最大盈利＋第 1 個公司分配 j-1?臺的機器的盈利

? ? ? ? f[i-1][2]+value[1][j-2]? ?//前 i-1 公司分配 2 臺機器最大盈利＋第 1 個公司分配 j-2 臺的機器的盈利

? ? ? ? f[i-1][j-1]+value[i][1]? ? //前 i-1 公司 j-1 分配臺機器最大盈利＋第 1 個公司分配 1 臺的機器的盈利

? ? ? ? f[i-1][j]＋value[i][0]? ? ? //前 i-1 公司分配 j 臺機器最大盈利＋第 1 個公司分配 0 臺的機器的盈利
? ? ? ? 在這里用機器數用做每個階段的狀態，由于 value[1][j]的值為定值，要使前面每個式子的值最大，就必須使第 i-1 階段的各個狀態的值最大，階段 i 的狀態只能由階段 i-1 中的狀態通過狀態轉移方程求得，與其他狀態沒有關系。由此可見，該問題具備了最優子結構和無后效性原則，適宜使用動態程序設計方法求解。

狀態轉移方程為∶f[i][j]= max { f[i-1][K] + value[i][j-k] }? (1<=i<=n,1<=j<=m, 0<=k<=j)
初始值∶f[0][0]=0，f[n][m]的值即為所求最大盈利值。

【參考代碼】

#include <stdio.h> int max1; int f[11][20],value[11][20]; int show(int i,int j) {int k;if(i==0)return 0;for(k=0;k<=j;k++){if(max1==f[i-1][k]+value[i][j-k]) // 遞歸求各公司分配的機器數量 {max1=f[i-1][k];show(i-1,k);printf("%d %d\n",i,j-k);break;}} } int main() {int m,n,i,j,k;scanf("%d%d",&n,&m);for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&value[i][j]);for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=m;j++){max1=0;for(k=0;k<=j;k++){if(f[i-1][k]+value[i][j-k]>max1)max1=f[i-1][k]+value[i][j-k];}f[i][j]=max1;}printf("%d\n",f[n][m]); // 輸出最大盈利值 show(n,m); // 輸出分配情況 return 0; }

http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1266

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總結

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