【題目鏈接】

ybt 1924：【03NOIP普及組】棧
洛谷 P1044 [NOIP2003 普及組] 棧

【題目考點】

遞推、遞歸

棧

【解題思路】:一維遞推

• 設(shè)數(shù)組a，a[i]表示i個數(shù)組成的數(shù)列經(jīng)過棧處理后得到的數(shù)列總數(shù)

• 易知：a[1] = 1。特殊地，將a[0]也設(shè)為1。

• 1~n組成數(shù)列，要經(jīng)過棧處理后形成一個數(shù)列，要經(jīng)歷以下幾個階段。

  • 1入棧
  • l個數(shù)字入棧出棧，經(jīng)過棧處理形成數(shù)列1。（0 <= l <= n-1)
  • 1出棧
  • r個數(shù)字入棧出棧，經(jīng)過棧處理形成數(shù)列2。（0 <= r <= n-1)

• 其中l(wèi) + r + 1 = n，最后得到的數(shù)列為：數(shù)列1,1,數(shù)列2

• 由l個數(shù)字經(jīng)過棧處理形成數(shù)列1，種類數(shù)為a[l]，同理，由r個數(shù)字組成的數(shù)列2的種類數(shù)為a[r]。則類似"數(shù)列1,1,數(shù)列2"的數(shù)列的種類數(shù)為：a[l]*a[r]。

• 1在最終數(shù)列中若是第1個數(shù)字，此時l為0， r為n-1。1在最終數(shù)列中若是第2個數(shù)字，此時l為1，r為n-2。將相關(guān)量列成表格，有：

1是數(shù)列中第幾個數(shù)字lr

1	0	n-1
2	1	n-2
…	…	…
n-1	n-2	1
n	n-1	0

1在每個位置時，最終數(shù)列的種類數(shù)為：a[l]*a[r]。已知r = n - 1 - l，即為a[l]*a[n-1-l]
每種數(shù)列的種類數(shù)加和即為n個數(shù)字經(jīng)過棧處理后得到的數(shù)列種類數(shù)，其值為:
$a[n]={\sum }_{l=0}^{n?1}a[l]?a[n?1?l]$
該公式即為遞推公式。

【題解代碼】

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {int n, a[25];cin>>n;a[0] = 1;a[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; ++i){a[i] = 0;for(int l = 0; l <= i - 1; ++l)a[i] += a[l] * a[i - 1 - l];}cout<<a[n];return 0; }

【解題思路】:二維遞推

設(shè)遞推狀態(tài)a[i][j]為：當(dāng)操作數(shù)序列有i個數(shù)字，棧中有j個數(shù)字時，可以形成的序列數(shù)目。

• 當(dāng)操作數(shù)序列為空時，沒有數(shù)字可以入棧，只能進(jìn)行出棧動作，此時可以形成的序列只有1種。即i為0時，a[i][j]=1。
• 當(dāng)棧為空時，只能進(jìn)行入棧操作，所以有：當(dāng)j為0時，a[i][j] = a[i-1][1];
• 當(dāng)操作數(shù)有i個，棧中有j個數(shù)時，可以有兩種操作：
  操作1： 將一個數(shù)字從操作數(shù)序列中取出，進(jìn)棧，這樣做后，操作數(shù)剩余i-1個，棧中有j+1個數(shù)，可以形成a[i-1][j+1]種序列。
  操作2： 棧中棧頂數(shù)字出棧。這樣做后，操作數(shù)剩余i個，棧中有j-1個數(shù)，可以形成a[i][j-1]種序列
  所以有：a[i][j] = a[i-1][j+1] + a[i][j-1];

【題解代碼】

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {int n, a[20][20];//a[i][j]:當(dāng)操作數(shù)序列有i個數(shù)字，棧中有j個數(shù)字時，可以形成的序列數(shù)目。cin>>n;for(int i = 0; i <= n; ++i)for(int j = 0; j <= n; ++j){if(i == 0)a[i][j] = 1;else if(j == 0)a[i][j] = a[i-1][1];elsea[i][j] = a[i-1][j+1] + a[i][j-1];}cout<<a[n][0];return 0; }

【解題思路】:記憶化遞歸

思路與上述遞推大體相同，用記憶化遞歸來做。

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int f[20][20]; //f[i][j]:當(dāng)操作數(shù)序列有i個數(shù)字，棧中有j個數(shù)字時，可以形成的序列數(shù)目。 int seqNum(int i, int j)//求f[i][j] {if(f[i][j] == 0)//如果沒求出過f[i][j]，則求一下 {if(i == 0)f[i][j] = 1;else if(j == 0)f[i][j] = seqNum(i-1, 1);elsef[i][j] = seqNum(i-1, j+1) + seqNum(i, j-1);}return f[i][j]; } int main() {int n;cin>>n;cout<<seqNum(n, 0);return 0; }

總結(jié)

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