【題目鏈接】

ybt 1924：【03NOIP普及組】棧
洛谷 P1044 [NOIP2003 普及組] 棧

【題目考點】

遞推、遞歸

棧

【解題思路】:一維遞推

• 設數組a，a[i]表示i個數組成的數列經過棧處理后得到的數列總數

• 易知：a[1] = 1。特殊地，將a[0]也設為1。

• 1~n組成數列，要經過棧處理后形成一個數列，要經歷以下幾個階段。

  • 1入棧
  • l個數字入棧出棧，經過棧處理形成數列1。（0 <= l <= n-1)
  • 1出棧
  • r個數字入棧出棧，經過棧處理形成數列2。（0 <= r <= n-1)

• 其中l + r + 1 = n，最后得到的數列為：數列1,1,數列2

• 由l個數字經過棧處理形成數列1，種類數為a[l]，同理，由r個數字組成的數列2的種類數為a[r]。則類似"數列1,1,數列2"的數列的種類數為：a[l]*a[r]。

• 1在最終數列中若是第1個數字，此時l為0， r為n-1。1在最終數列中若是第2個數字，此時l為1，r為n-2。將相關量列成表格，有：

1是數列中第幾個數字lr

1	0	n-1
2	1	n-2
…	…	…
n-1	n-2	1
n	n-1	0

1在每個位置時，最終數列的種類數為：a[l]*a[r]。已知r = n - 1 - l，即為a[l]*a[n-1-l]
每種數列的種類數加和即為n個數字經過棧處理后得到的數列種類數，其值為:
$a[n]={\sum }_{l=0}^{n?1}a[l]?a[n?1?l]$
該公式即為遞推公式。

【題解代碼】

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {int n, a[25];cin>>n;a[0] = 1;a[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; ++i){a[i] = 0;for(int l = 0; l <= i - 1; ++l)a[i] += a[l] * a[i - 1 - l];}cout<<a[n];return 0; }

【解題思路】:二維遞推

設遞推狀態a[i][j]為：當操作數序列有i個數字，棧中有j個數字時，可以形成的序列數目。

• 當操作數序列為空時，沒有數字可以入棧，只能進行出棧動作，此時可以形成的序列只有1種。即i為0時，a[i][j]=1。
• 當棧為空時，只能進行入棧操作，所以有：當j為0時，a[i][j] = a[i-1][1];
• 當操作數有i個，棧中有j個數時，可以有兩種操作：
  操作1： 將一個數字從操作數序列中取出，進棧，這樣做后，操作數剩余i-1個，棧中有j+1個數，可以形成a[i-1][j+1]種序列。
  操作2： 棧中棧頂數字出棧。這樣做后，操作數剩余i個，棧中有j-1個數，可以形成a[i][j-1]種序列
  所以有：a[i][j] = a[i-1][j+1] + a[i][j-1];

【題解代碼】

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main() {int n, a[20][20];//a[i][j]:當操作數序列有i個數字，棧中有j個數字時，可以形成的序列數目。cin>>n;for(int i = 0; i <= n; ++i)for(int j = 0; j <= n; ++j){if(i == 0)a[i][j] = 1;else if(j == 0)a[i][j] = a[i-1][1];elsea[i][j] = a[i-1][j+1] + a[i][j-1];}cout<<a[n][0];return 0; }

【解題思路】:記憶化遞歸

思路與上述遞推大體相同，用記憶化遞歸來做。

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int f[20][20]; //f[i][j]:當操作數序列有i個數字，棧中有j個數字時，可以形成的序列數目。 int seqNum(int i, int j)//求f[i][j] {if(f[i][j] == 0)//如果沒求出過f[i][j]，則求一下 {if(i == 0)f[i][j] = 1;else if(j == 0)f[i][j] = seqNum(i-1, 1);elsef[i][j] = seqNum(i-1, j+1) + seqNum(i, j-1);}return f[i][j]; } int main() {int n;cin>>n;cout<<seqNum(n, 0);return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的信息学奥赛一本通 1924：【03NOIP普及组】栈 | 洛谷 P1044 [NOIP2003 普及组] 栈的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。