【概述】

由于概率和期望具有線性性質，使得可以在概率和期望之間建立一定的遞推關系，這樣就可以通過動態規劃來解決一些概率問題，例如概率和期望的最值問題就常常使用概率 DP、期望 DP 來解決。

與其他的動態規劃一樣，合理的選擇狀態以及高效的狀態轉移方程是關鍵，選擇合適的狀態不僅可以提高效率，而且可以保證動態規劃所必須的無后效性。

一般來說，將問題直接作為狀態是最好的，當找到正確的狀態定義后，轉移是較容易想到的，一般的遞推即可確定轉移。

例如：n 個人做 XX 的期望次數，可以設計狀態 f[i] 表示 i 個人做完事的期望。

【概率 DP】

概率 DP 通常已知初始的狀態，然后求解最終達到目標的概率，因此概率 DP 需要順序求解。

其相較于期望 DP較為簡單，當前狀態只需加上所有上一狀態乘上轉移概率即可，即：f[i]=f[i-1]*p[i]

【期望 DP】

期望 DP 與概率 DP 不同，其需要倒序求解。

當求解達到某一目標的期望花費時，由于最終的花費無從知曉（無法從無窮推起），因此期望 DP 需要倒序求解。

設 f[i]?為?i?狀態下實現目標的期望值，即到了 f[i]?這個狀態的差距是多少。

初始時，令 f[n]=0，即在目標狀態期望值為 0，然后進行狀態轉移，新的狀態為上一狀態與轉移概率的乘積再加上轉移的花費

即：f[i-1]=f[i]*p[i]+w

最后初始位置 f[0] 即為所求的期望值

需要注意的是，當轉移關系不成環時，期望 DP?可以進行線性遞推，但當轉移關系成環時，期望 DP 的最終狀態相當于一個已知量，而轉移關系相當于一個個方程，此時需要使用高斯消元法來解決。

【例題】

• Discovering Gold（LightOJ-1030）(期望DP)：點擊這里
• Dice (III)（LightOJ-1248）(期望DP)：點擊這里
• Just another Robbery（LightOJ-1079）(概率DP+01背包)：點擊這里
• Let's Play Osu!（CF-236D）(期望DP)：點擊這里
• Piglet's Birthday（CF-248E）(概率DP)：點擊這里
• Robots（2019 ACM-ICPC 南京賽區網絡賽 D）(期望DP)：點擊這里
• Everything Is Generated In Equal Probability（HDU-6595）(期望DP)：點擊這里
• Kejin Player（HDU-6656）(期望DP+降維)：點擊這里

總結

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划 —— 概率 DP 与期望 DP的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。