【概述】

給定一個有向圖與一個起點 S，如果要去掉起點 S 到某個點 p 的中間的某個點 x?后無法到達，那么稱點 x 支配點 p，x 是 p 的一個支配點。

顯然支配點 x 可以有多個，支配點的集合記為 {Xp}，對于起點以為的點，它們都有兩個平凡的支配點，一個是其自身，一個是起點。

在支配 p 的點中，若一個支配點 i≠p，滿足 i 被 p 剩下的所有非平凡的支配點支配，則稱 i 為 p 的最近支配點，記作：idom(p)

將圖的起點記作 root，那么除 root 外的每一點，均存在唯一的最近支配點，因此，連上所有 root 以外的 idom(u)->u 的邊，就能得到一棵樹，其中每個點支配它子樹中的所有點，這棵樹即為支配樹。

對于樹來說，其本身就是自己的支配樹

對于 DAG 來說，可以簡單的看做是拓撲排序加上 LCA 求最近公共祖先的問題

對于一般有向圖來說，采用?Lengauer Tarjan 算法來解決

【DAG 圖】

對于 DAG 圖來說，如果要詢問從點 x 到點 y 之間有多少個點被刪掉后，使得這兩個點中的任何一個無法到達另一個，那么我們可以建立支配樹來解決。

對于 DAG 圖，我們首先進行反向拓撲，然后按照拓撲序建立支配樹

由于某點的支配樹上的父親就是該點在 DAG 中的所有出點在支配樹上的 LCA，因此對于詢問 query(x,y)，結果也就是 x 的深度與 y 的深度的和減去 LCA(x,y) 的深度

int n, m, q; vector<int> G[N]; //原圖 vector<int> Gf[N]; //反圖 int in[N]; int a[N], tot; int deep[N], dp[N][22]; void topSort() { //對反圖進行拓撲排序queue<int> Q;for (int i = 1; i <= n; i++)if (in[i] == 0)Q.push(i);while (!Q.empty()) {a[++tot] = Q.front();Q.pop();int now = a[tot];for (int i = 0; i < Gf[now].size(); i++) {int to = Gf[now][i];in[to]--;if (in[to] == 0)Q.push(to);}} } int getLCA(int x, int y) { //獲取LCAif (deep[x] < deep[y])swap(x, y);int cnt = deep[x] - deep[y];for (int i = 0; i < 20; i++)if ((1 << i) & cnt)x = dp[x][i];if (x == y)return x;for (int i = 19; i >= 0; i--) {if (dp[x][i] != dp[y][i]) {x = dp[x][i];y = dp[y][i];}}return dp[x][0]; } void init() {tot = 0;memset(in, 0, sizeof(in));memset(dp, 0, sizeof(dp));for (int i = 0; i <= n; i++) {G[i].clear();Gf[i].clear();} } int query(int x, int y) { return deep[x] + deep[y] - deep[getLCA(x, y)]; } int main() {init();scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1; i <= m; i++) {int x, y;scanf("%d%d", &x, &y);G[x].push_back(y);Gf[y].push_back(x);in[x]++;}topSort();for (int i = 1; i <= n; i++) {int x = a[i];if (G[x].size() == 0) {G[0].push_back(x);deep[x] = 1;continue;}int y = G[x][0];for (int i = 1; i < G[x].size(); i++)y = getLCA(y, G[x][i]);deep[x] = deep[y] + 1;dp[x][0] = y;for (int i = 1; i < 20; i++)dp[x][i] = dp[dp[x][i - 1]][i - 1];}scanf("%d", &q);while (q--) {int x, y;scanf("%d%d", &x, &y);printf("%d\n", query(x, y));}return 0; }

【Lengauer Tarjan 算法】

從點 y?出發到點 x，若存在這樣一條路徑：路徑上的點(不包含 x、y 點)的 dfn 均大于 dfn[x]，此時，稱 y 是 x 的半支配點

用 sdom[x] 表示 x 的半必經點中 dfn 最小的點，這樣一來，當刪除原圖中的非樹邊，然后連接 (sdom[x],x) 后，不僅不會改變原圖中的支配點關系，而且還將原圖轉為一個 DAG 圖，這樣就可以使用 DAG 的做法了

但對于一個一般有向圖來說，除了上述方法外，利用?Lengauer Tarjan 算法可以快速構造支配樹的算法，其可在 O(nlogn) 的時間復雜度內構造一個支配樹。

1.算法原理

1）構建 dfs 樹

首先對圖進行 dfs 遍歷，求出 dfs 序

2）找半支配點

對于一個點 x，要找出所有的邊 (y,x) 中對應的 y，那么有：

• 若 dfn[y]<dfn[x] 且 dfn[y] 比當前找到的 sdom[x] 的 dfn 小，那么有 sdom[x]=y
• 若 dfn[x]>dfn[y]，那么找到樹上 y 的一個滿足 dfn[z]>dfn[x]?的祖先 z，然后比較 dfn[sdom[z]] 與 dfn[sdom[x]] 的關系，來決定是否用前者更新后者

3）半支配點到支配點

對于點 x 來說，我們要找的是 idom[x]，當求出 sdom[x] 后，我們需要利用 sdom[x] 來找出 idom[x]

令 P 是從 sdom[x] 到 x 的樹上路徑點集，且 P 中不包含 sdom[x]，并設 y 是 P 中 dfn[sdom[y]] 最小的點

那么：如果 sdom[y]=sdom[x]，則 idom[x]=sdom[x]，否則 idom[x]=idom[z]

2.算法流程

Lengauer Tarjan 算法的實現一般采用帶權并查集

首先對原圖進行一遍 dfs 來建立 dfs 樹并求出 dfs 序，然后按照 dfs 序從大到小進行處理，利用帶權并查集尋找每個點的半支配點 sdom

每一次處理完畢一個點后，將這個點同其在 dfs 樹上的父親在并查集進行連邊，邊的權值是這個點到根結點的路徑上的所有點中最小的 dfn[sdom[x]] 對應的 x

然后根據 dfs 的入度建立 dfs 樹的反圖，并進行拓撲排序，建立支配樹

最后直接在支配樹上進行 dfs，根據求出的?sdom[i] 直接計算?idom[i] 即可

3.模版

struct MAP {struct Edge {int to, next;} edge[N << 1];int tot, head[N];void addEdge(int x, int y) {edge[++tot].to = y;edge[tot].next = head[x];head[x] = tot;} }; MAP G, GF; //原圖、反圖 MAP dfsTree, dfsTreeF; // dfs樹、dfs樹的反圖 MAP dominate; //支配樹MAP xx; int n, m; int father[N]; // dfs樹上的父節點 int dfn[N], id[N], tim; // dfs序、標號、時間戳void dfs(int x) {id[++tim] = x;dfn[x] = tim;for (int i = G.head[x]; i; i = G.edge[i].next) {int to = G.edge[i].to;if (!dfn[to]) {dfs(to);father[to] = x;dfsTree.addEdge(x, to);}} }int sdom[N]; //半支配點 int mn[N]; // mn[i]表示i點的dfs樹上的sdom最小的祖先,因此有sdom[mn[i]]=sdom[i] int anc[N]; // anc[i]代表i的祖先 int find(int x) { //路徑壓縮的帶權并查集if (x != anc[x]) {int t = anc[x];anc[x] = find(anc[x]);if (dfn[sdom[mn[x]]] > dfn[sdom[mn[t]]])mn[x] = mn[t];}return anc[x]; } void LengauerTarjan() { //尋找半支配點for (int i = 1; i <= n; i++) {anc[i] = i;sdom[i] = i;mn[i] = i;}for (int j = n; j >= 2; j--) {int x = id[j];if (!x)continue;int pos = j;for (int i = GF.head[x]; i; i = GF.edge[i].next) {int y = GF.edge[i].to;if (!dfn[y])continue;if (dfn[y] < dfn[x])pos = min(pos, dfn[y]);else {find(y); //尋找樹上y的一個滿足dfn[z]>dfn[x]的祖先zpos = min(pos, dfn[sdom[mn[y]]]);}}sdom[x] = id[pos];anc[x] = father[x];dfsTree.addEdge(sdom[x], x); //在dfs樹上連邊} }int deep[N], dp[N][25]; int getLCA(int x, int y) { //獲取LCAif (deep[x] < deep[y])swap(x, y);int del = deep[x] - deep[y];for (int i = 0; i <= 20; i++)if ((1 << i) & del)x = dp[x][i];if (x == y)return x;for (int i = 20; i >= 0; i--) {if (dp[x][i] != dp[y][i]) {x = dp[x][i];y = dp[y][i];}}return dp[x][0]; } void buildDominate(int x) { //建立支配樹int to = dfsTreeF.edge[dfsTreeF.head[x]].to;for (int i = dfsTreeF.head[x]; i; i = dfsTreeF.edge[i].next) {int y = dfsTreeF.edge[i].to;to = getLCA(to, y);}deep[x] = deep[to] + 1;dp[x][0] = to;dominate.addEdge(to, x);for (int i = 1; i <= 20; i++)dp[x][i] = dp[dp[x][i - 1]][i - 1]; } int in[N]; // dfs樹的入度 void topSort() {for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = dfsTree.head[i]; j; j = dfsTree.edge[j].next) {int to = dfsTree.edge[j].to;in[to]++;dfsTreeF.addEdge(to, i); //對DFS樹的反圖建邊}}for (int i = 1; i <= n; i++) {if (!in[i]) {dfsTree.addEdge(0, i); // dfs樹建邊dfsTreeF.addEdge(i, 0); // dfs樹的反圖建邊}}queue<int> Q;Q.push(0);while (Q.size()) {int x = Q.front();Q.pop();for (int i = dfsTree.head[x]; i; i = dfsTree.edge[i].next) {int y = dfsTree.edge[i].to;if ((--in[y]) <= 0) {Q.push(y);buildDominate(y); //建立支配樹}}} }int idom[N]; void dfsDominate(int x) { //在支配樹上搜索idomidom[x] = 1;for (int i = dominate.head[x]; i; i = dominate.edge[i].next) {int y = dominate.edge[i].to;dfsDominate(y);idom[x] += idom[y];} } int main() {scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1; i <= m; i++) {int x, y;scanf("%d%d", &x, &y);G.addEdge(x, y);GF.addEdge(y, x);}dfs(1); // dfs，求出dfs序LengauerTarjan(); //計算半支配點sdomtopSort(); //根據dfs樹建立dfs樹的反圖，并對進行拓撲排序從而建立支配樹dfsDominate(0); //在支配樹上尋找答案for (int i = 1; i <= n; i++)printf("%d ", idom[i]);printf("\n");return 0; }

【例題】

• Blow up the city（HDU-6604）(DAG 圖的支配樹)：點擊這里
• 支配樹（洛谷-P5180）(一般有向圖的支配樹)：點擊這里

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图论 —— 支配树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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