【線性同余方程組】

由若干個線性同余方程構成的線性方程組。

例如：

其解法最早由我國《孫子算經》給出，因此解法稱為“孫子定理”，又叫“中國剩余定理”，實質即為求多個數的最小公倍數。

【中國剩余定理】

1.內容

設自然數??兩兩互質，并記?，則同余方程組：?在模 N 同余的意義下，有唯一解：。

2.證明

考慮方程組：，

由于??兩兩互質，對方程組作變量替換，即令?

故方程組等價于解同余方程：

若想得到特解?

只要令??即可

故方程組的解為：，在模 N?下值唯一。

3.應用

中國剩余定理就是用來求線性同余方程組的，即對方程組：，在 W、B 的值已知，且 W[i]>0，W[i] 與 W[j] 互質，求 a 的值。

4.實現

#include<iostream> using namespace std; int Extended_GCD(int a,int b,int &x,int &y){if(b==0){x=1;y=0;return a;}int gcd=Extended_GCD(b,a%b,y,x);y=y-a/b*x;return gcd; } int China(int W[],int B[],int k){//W除數，B余數int mod=1;for(int i=0;i<k;i++)//計算mod的大小mod*=W[i];int res=0;int x,y,m;for(int i=0;i<k;i++){m=mod/W[i];Extended_GCD(W[i],m,x,y);//求出每一組W[i]與m的解res=(res+y*B[i]*mod/W[i]+mod)%mod;//累加所有解}return (res+mod)%mod; }

【不互素的中國剩余定理】

對于不互素的中國剩余定理， 即：a[1]，a[2]，.....，a[n]，不互素的情況，只能每兩個一組的求解，有：

設：k1、k2 ，易得：

即：

對整個式子進行 a2 取余，得：

此時式子只有一個未知量 k1，使用擴展歐幾里得定理可求出 k1，從而計算出：

這個 x 僅是滿足 ?的一個特解，不一定是??的解，因此要想求出式子真正的解，需要取 x 對 a1、a2 最小公倍數的模

即：

由于只有 ans 是未知數，因此就將兩個式子轉換為一個式子，通過這樣不斷的合并，可以求出最終的結果。

判斷是否有解，在擴展歐幾里得中求 k1 時判斷即可。

int Extended_GCD(int a,int b,int &x,int &y){if(b==0){x=1;y=0;return a;}LL gcd=Extended_GCD(b,a%b,y,x);y=y-a/b*x;return gcd; } int GCD(int a,int b){return b==0?a:GCD(b,a%b); } int CRT(int W[],int B[],int n)//w為除數，b為余數，n為有多少式子 {int res=B[0],Wi=W[0];for(int i=1;i<n;i++){int bi=B[i],wi=W[i];int x,y;int gcd=Extended_GCD(Wi,wi,x,y);int c=bi-res;if(c%gcd!=0)//表示沒有結果return -1;int M=wi/gcd;res+=Wi*( ((c/gcd*x)%M+M) % M);Wi*=M;}if(res==0)//除數全為0{res=1;for(int i=0;i<n;i++)res=res*W[i]/GCD(res,(LL)W[i]);}return res; } int a[N],b[N]; int main(){int k;while(scanf("%d",&k)!=EOF&&k){for(LL i=0;i<k;i++)scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);//先除數后余數printf("%d\n",CRT(a,b,k));}return 0; }

【例題】

• Biorhythms（POJ-1006）(中國剩余定理)：點擊這里
• Monkey Tradition（LightOJ-1319）(中國剩余定理)：點擊這里
• Strange Way to Express Integers（POJ-2891）(不互素的中國剩余定理)：點擊這里

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数论 —— 线性同余方程组与中国剩余定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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