【概述】

Bellman-Ford算法適用于計(jì)算單源最短路徑，即：只能計(jì)算起點(diǎn)只有一個(gè)的情況。

其最大特點(diǎn)是可以處理存在負(fù)邊權(quán)的情況，但無(wú)法處理存在負(fù)權(quán)回路的情況。

其時(shí)間復(fù)雜度為：O(V*E)，其中，V?是頂點(diǎn)數(shù)，E 是邊數(shù)。

【算法分析】

Bellman Ford 算法與 Dijkstra 算法的思想相同，只不過(guò) Dijkstra 是每次確定一個(gè)最短距離點(diǎn)，并用這個(gè)點(diǎn)去更新與之相連的其他邊，而 Ford 算法是每次更新所有的邊，從而確定一個(gè)點(diǎn)的最短距離

起始時(shí)，認(rèn)為起點(diǎn)是白點(diǎn)（dis[1]=0），每一次都枚舉所有的邊，必然會(huì)有一些邊，連接著白點(diǎn)和藍(lán)點(diǎn)。因此每次都能用所有的白點(diǎn)去修改所有的藍(lán)點(diǎn)，每次循環(huán)也必然會(huì)有至少一個(gè)藍(lán)點(diǎn)變成白點(diǎn)。

以下圖為例

令起點(diǎn)為白點(diǎn)，即：dis[1]=0，dis[2、3、4、5]=∞

遍歷所有邊，將與白點(diǎn)相連的藍(lán)點(diǎn)變?yōu)榘c(diǎn)，即：dis[1]=0，dis[2]=2，dis[3]=1，dis[4]=2，dis[5] =∞

繼續(xù)向下遍歷，修改藍(lán)點(diǎn)為白點(diǎn)，即：dis[1]=0，dis[2]=2，dis[3]=1，dis[4]=2，dis[5] =4

【算法核心】

設(shè)起點(diǎn)為 s，dis[v] 表示從 s 到 v 的最短路徑，u[i] 和 v[i] 分別表示第 i 條邊的起點(diǎn)和終點(diǎn)，w[j] 是連接 u、v 的邊 j 的長(zhǎng)度。

初始化：

dis[s]=0，dis[v]=0x3f3f3f3f（v≠s），即：初始化為一極大值

算法主體：

void Bellman_Ford() {for(int i=0;i<n;i++) dis[i]=INF;dis[0]=0;for(int i=1;i<=n-1;i++)//枚舉除終點(diǎn)外的所有點(diǎn)for(int j=1;j<=m;j++)//枚舉所有邊{int x=u[j];//邊j的起點(diǎn)int y=v[j];//邊j的終點(diǎn)if(dis[x]<INF)//松弛dis[y]=min(dis[y],dis[x]+w[j]);} }

算法結(jié)束：dis[v] 即為 s 到 v 最短距離

【SPFA】

SPFA 實(shí)質(zhì)就是?Ford 算法加了判斷負(fù)環(huán)的隊(duì)列實(shí)現(xiàn)版本。

其利用隊(duì)列以進(jìn)行 Ford 算法的過(guò)程，初始時(shí)將起點(diǎn)加入隊(duì)列，每次從隊(duì)列中取出一個(gè)元素，并對(duì)所有與它相鄰的點(diǎn)進(jìn)行修改，若相鄰的點(diǎn)修改成功，則將其入隊(duì)，直到隊(duì)列為空時(shí)算法結(jié)束。

SPFA 時(shí)間復(fù)雜度可達(dá)：O(k*E)，其中，E 是邊數(shù)，k 是常數(shù)，平均值是 2。

int dis[N]; bool vis[N]; void SPFA(int S) {memset(vis, false, sizeof(vis));memset(dis, INF, sizeof(dis));dis[S] = 0;queue<int> Q;Q.push(S);while (!Q.empty()) {int x = Q.front();Q.pop();vis[x] = false;for (int i = head[x]; i != -1; i = edge[i].next) {int to = edge[i].to;if (dis[to] > dis[x] + edge[i].dis) {dis[to] = dis[x] + edge[i].dis;if (!vis[to]) {vis[to] = true;Q.push(to);}}}} }

【SPFA 的 SLF 優(yōu)化】

在 SPFA 的基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步的進(jìn)行優(yōu)化，即 SLF 優(yōu)化

SLF 優(yōu)化就是 small label first 優(yōu)化，由于先擴(kuò)展最小的點(diǎn)可以盡量使程序盡早結(jié)束，因此當(dāng)加入一個(gè)新點(diǎn) u 的時(shí)候，如果此時(shí)的 dis[u] 比隊(duì)首的 dis[q.front()] 小的話，就將點(diǎn) v 加入隊(duì)首，否則加入隊(duì)尾，利用 STL 中的雙端隊(duì)列 deque 即可??

struct Edge{int to,dis; }; vector<Edge> edge[N]; bool vis[N]; int dis[N]; void SPFA(int s) {memset(dis, INF, sizeof(dis));memset(vis, false, sizeof(vis));vis[s] = true;dis[s] = 0;deque<int> Q;Q.push_back(s);while (!Q.empty()) {int x = Q.front();Q.pop_front();vis[x] = 0;for (int i = 0; i < edge[x].size(); i++) {int y = edge[x][i].to;if (dis[y] > dis[x] + edge[x][i].to) {dis[y] = dis[x] + edge[x][i].to;if (!vis[y]) {vis[y] = true;if (!Q.empty() && dis[y] < dis[Q.front()])//加入隊(duì)首Q.push_front(y);else//加入隊(duì)尾Q.push_back(y);}}}} }

【模版】

1.標(biāo)準(zhǔn)版

struct Edge {int to, next;int dis; } edge[N]; int head[N], tot; bool vis[N]; int dis[N]; void addEdge(int x, int y, int dis) {edge[++tot].to = y;edge[tot].dis = dis;edge[tot].next = head[x];head[x] = tot; } void SPFA(int S) {memset(vis, false, sizeof(vis));memset(dis, INF, sizeof(dis));dis[S] = 0;queue<int> Q;Q.push(S);while (!Q.empty()) {int x = Q.front();Q.pop();vis[x] = false;for (int i = head[x]; i != -1; i = edge[i].next) {int to = edge[i].to;if (dis[to] > dis[x] + edge[i].dis) {dis[to] = dis[x] + edge[i].dis;if (!vis[to]) {vis[to] = true;Q.push(to);}}}} } int main(){int n,m;while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){memset(head,-1,sizeof(head));for(int i=1;i<=m;i++){int x,y,dis;scanf("%d%d%d",&x,&y,&dis);//無(wú)向圖添邊兩次addEdge(x,y,dis);addEdge(y,x,dis);}int S;scanf("%d",&S);SPFA(S);for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",dis[i]);} return 0; }

2.帶負(fù)環(huán)判斷的SPFA

struct Edge {int from, to;int dis;Edge() {}Edge(int from, int to, int dis) : from(from), to(to), dis(dis) {} }; struct SPFA {int n, m;Edge edges[N]; //所有的邊信息int head[N]; //每個(gè)節(jié)點(diǎn)鄰接表的頭int next[N]; //每個(gè)點(diǎn)的下一條邊int pre[N]; //最短路中的上一條弧bool vis[N];int dis[N];int cnt[N]; //進(jìn)隊(duì)次數(shù)void init(int n) {this->n = n;this->m = 0;memset(head, -1, sizeof(head));}void AddEdge(int from, int to, int dist) {edges[m] = Edge(from, to, dist);next[m] = head[from];head[from] = m++;}bool negativeCycle(int s) { //判負(fù)環(huán)memset(vis, false, sizeof(vis));memset(cnt, 0, sizeof(cnt));memset(dis, INF, sizeof(dis));dis[s] = 0;queue<int> Q;Q.push(s);while (!Q.empty()) {int x = Q.front();Q.pop();vis[x] = false;for (int i = head[x]; i != -1; i = next[i]) {Edge &e = edges[i];if (dis[e.to] > dis[x] + e.dis) {dis[e.to] = dis[x] + e.dis;pre[e.to] = i;if (!vis[e.to]) {vis[e.to] = true;Q.push(e.to);if (++cnt[e.to] > n)return true;}}}}return false;} } spfa; int main() {int n, m;while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {spfa.init(n);int S;scanf("%d", &S);for (int i = 1; i <= m; i++) {int x, y, dis;scanf("%d%d%d", &x, &y, &dis);//無(wú)向邊添邊兩次spfa.AddEdge(x, y, dis);spfa.AddEdge(y, x, dis);}spfa.negativeCycle(S);for (int i = 1; i <= n; i++)printf("%d\n", spfa.dis[i]);}return 0; }

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的图论 —— 最短路 —— Bellman-Ford 算法与 SPFA的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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