【概述】

康托展開是一個全排列到一個自然數的雙射，常用于構建哈希表時的空間壓縮，在組合數學中，其解決的是當前排列在全排列中的名次問題。

簡單來說，給定一個 n 位數的全排列，可根據康托展開公式確定其應是字典序中的第幾個排列。

由于康托展開計算的是某個全排列方式在該全排列集合中的字典序，其映射關系是唯一的，而且單調，因此映射關系是可逆的，故而當給定一個全排列的所有字符，以及某個字典序編號，可以利用逆康托展開得到相應的那個全排列。

【康托展開】

對于康托展開，有公式：，其中 a[i] 表示原排列中，排在下標 i ?后的，比下標 i?的字符還小的字符個數

通過公式算出來的康托展開值，是指當前序列在之前的全排列的個數，因此?X+1 即為該序列在全排列中的次序。

以序列 {3,2,5,4,1} 為例：

• 對于 3：比 3 小的有 1、2，所以 3 是第 2 小的，X+=2*(5-1)!
• 對于 2：比 2 小的有 1，所以 2 是第 1 小的，X+=1*(4-1)!
• 對于 5：比 5 小的有 1、2、3、4，但由于 2、3 已經出現過了，所以目前 5 是第 2 小的，X+=2*(3-1)!
• 對于 4：比 4 小的只剩 1，所以 X+=1*(2-1)!
• 對于 1：已經是最小的，X+=0*(1-1)!

因此，X=2*(5-1)!+1*(4-1)!+2*(3-1)!+1*(2-1)!+0*(1-1)!+1=48+6+4+1+0+1=60

因此，序列｛3,2,5,4,1｝在由數 1~5 組成的全排列中的次序是 60

int a[N]; int fac[N]; void getFactor(int n) { //計算階乘fac[0]=1;for(int i=1; i<=n; i++)fac[i]=fac[i-1]*i; } int contor(int n) { //康托展開int X=0;for(int i=1;i<n;i++){int cnt=0;for(int j=i+1;j<=n;j++)if(a[j]<a[i])cnt++;X+=cnt*fac[n-i];}return X+1; } int main() {int n;scanf("%d",&n);getFactor(n);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);int res=contor(n);printf("%d\n",res);return 0; }

【逆康托展開】

康拖展開是從序列到自然數的映射且是可逆的，那么逆康拖展開便是從自然數到序列的映射，簡單來說，逆康托展開，就是給出 1~n 的數列，求出排名第 x 的數

以序列 {1,2,3,4,5} 為例，求第 10 的序列：

有：X=10，X-1=9，那么：

• 第一個數：9/(5-1)!=0...9，說明比第一個數小的、沒有出現過的數不存在，因此第一個數是：1
• 第二個數：9/(4-1)!=1...3，說明比第二個數小的、沒有出現過的數有 1 個，因此第二個數是：3
• 第三個數：3/(3-1)!=1...1，說明比第三個數小的、沒有出現過的數有 1 個，因此第三個數是：4
• 第四個數：1/(2-1)!=1...0，說明比第四個數小的、沒有出現過的數有 1 個，因此第四個數是：5
• 第五個數：0/(1-1)!=0...0，說明比第五個數小的、沒有出現過的數不存在，因此第五個數是：2

因此，第 10 的序列為 {1,3,4,5,2}

int fac[N]; bool vis[N]; void getFactor(int n) { //計算階乘fac[0]=1;for(int i=1; i<=n; i++)fac[i]=fac[i-1]*i; } vector<int> revContor(int n, int X) {//逆康托展開memset(vis,false,sizeof(vis));vector<int> res(n,-1);X--;int residue=X;//除數for (int i=0; i<=n-1; i++) {int cnt=residue/(fac[n-i-1]);residue=residue%(fac[n-i-1]);for(int j=1;j<=n;j++) {if (!vis[j]) {if(!cnt){vis[j]=true;res[i]=j;break;}cnt--;}}}return res; } int main() {int n,num;scanf("%d%d",&n,&num);getFactor(n);vector<int> res=revContor(n,num);for(int i=0;i<res.size();i++)cout<<res[i];return 0; }

【例題】

• Uim的情人節禮物·其之弐（洛谷-P2524）(康托展開)：點擊這里
• Cow Line（洛谷-P3014）(康托展開+逆康托展開)：點擊這里
• 第K個幸運排列 （51Nod-1635）(逆康托展開+dfs)：點擊這里

總結

以上是生活随笔為你收集整理的组合数学 —— 康托展开的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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