数论 —— 莫比乌斯反演
生活随笔
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数论 —— 莫比乌斯反演
小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.
【反演】
假設我們手頭有個數列?F，通過某種變換 H，可以得到函數 G。，即：
但現在只有函數 G，需要求 F，那么我們就需要尋找一種變換 ，使得 G 在經過這種變換后能夠獲得 F，這個過程即為反演，即：
【整除分塊】
對于式子：，其時間復雜度為 O(n)，當有多組數據時，O(n) 并非正確的時間復雜度，此時有一種時間復雜度為 O(√n) 的算法：整除分塊
對于每一個??通過打表發現，很多 ?的值是相同的，它們呈一個塊狀分布，對每一個值相同的塊，它的最后一個數是：
有時候，可能式子不一定是一個裸的整除分塊，可能會與某些積性函數相乘，這時就需要對這些函數統計一個前綴和。因為，每當我們使用整除分塊跳過一個區間的時候，其所對應的函數值也跳過了一個區間，所以就需要乘上那一個區間的函數值
實現
int res=0; for(int left=1,right;left<=n;left=right+1){right=n/(n/left);res+=(righr-left+1)*(n/left); }對于式子：，其時間復雜度為 O(n^2)，同樣可以使用整除分塊的做法來降低時間復雜度
int res=0; int minn=min(n,m); for(int left=1,right;left<=minn;left=right+1){right=min(n/(n/left),m/(m/left));res+=(righr-left+1)*(n/left)*(m/left); }【莫比烏斯函數】
1.定義
其中對于??的情況，，且??均為互質素數
簡單來說，其滿足以下幾點：
- 定義域：N
- 當 d 為 1 時：μ(1)=1
- 當 d?是偶數個不同素數之積時：μ(d)=1
- 當 d?是奇數個不同素數之積時：μ(d)=-1
- 當 d 是素數時：μ(d)=-1
- 當 d?存在平方因子時：μ(d)=0
2.性質
- 莫比烏斯函數?μ(d) 為積性函數：μ(d) 可以線性篩
- 對于任意正整數 n，有：，當且僅當 n=1 時計數的函數，可用于求 (i,j)=1 的問題
- 對于任意正整數 n，有：，其中??為歐拉函數
3.實現
1）普通篩
int mu[N]; void getMu(){for(int i=1;i<N;++i)int target=(i==1?1:0);int delta=target-mu[i];mu[i]=delta;for(int j=2*i;j<N;j+=i)mu[j]+=delta;} }2）線性篩
int mu[N]; int prime[N]; bool bprime[N]; int cnt; void getMu(int n){//線性篩求莫比烏斯函數cnt=0;mu[1]=1;//根據定義，μ(1)=1memset(bprime,false,sizeof(bprime));for(int i=2;i<=n;i++){//求2~n的莫比烏斯函數if(!bprime[i]){prime[++cnt]=i;//存儲質數mu[i]=-1;//i為質數時，μ(1)=-1}for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){//枚舉i之前的素數個數bprime[i*prime[j]]=true;//不是質數if(i%prime[j])//i不是prime[j]的整數倍時，i*prime[j]就不會包含相同質因子mu[i*prime[j]]=-mu[i];//mu[k]=mu[i]*mu[prime[j]]，因為prime[j]是質數，mu值為-1else{mu[i*prime[j]]=0;break;//留到后面再篩}}} }【莫比烏斯反演】
對于一些函數f(n)，很難直接求出其值，但容易求出約數和或倍數和g(n)，那么可以通過莫比烏斯反演來求得f(n)
莫比烏斯反演的題目通常能轉化為(x,y)=1的計數問題，即用f(n)表示某一范圍(x,y)=n的數對數量,g(n)表示某一范圍內n|(x,y)的數對數量。
1.形式1
?和??是定義在非負整數集合上的兩個函數，那么有：
2.形式2
?和??是定義在非負整數集合上的兩個函數，且滿足條件：
那么：
【例題】
總結
以上是生活随笔為你收集整理的数论 —— 莫比乌斯反演的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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