【概述】

樹狀數組又稱二叉索引樹，常用于高效計算數列的前綴和、區間和，其查詢、修改的時間復雜度為 log(n)，空間復雜度為 O(n)

樹狀數組通過將線性結構轉化成樹狀結構，從而進行跳躍式掃描。

優點：

代碼短小，實現簡單

容易擴展到高緯度的數據

缺點：

只能用于求和，不能求最值

不能動態插入

數據多時，空間壓力大

【原理】

1.對于一個普通的二叉樹，葉子結點代表 A 數組的 A[1]~A[8]

2.將其進行簡單的變形

3.然后定義每一列的頂端結點 C[] 數組，令 C[i] 代表子樹的葉結點的權值之和

如上圖，可知：

• C[1]=A[1]
• C[2]=A[1]+A[2]
• C[3]=A[3]
• C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]
• C[5]=A[5]
• C[6]=A[5]+A[6]
• C[7]=A[7]
• C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8]

4.將 C[] 數組的結點序號轉化為二進制

如上圖，有：

• 1=(001)，C[1]=A[1]
• 2=(010)，C[2]=A[1]+A[2]
• 3=(011)，C[3]=A[3]
• 4=(100)，C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]
• 5=(101)，C[5]=A[5]
• 6=(110)，C[6]=A[5]+A[6]
• 7=(111)，C[7]=A[7]
• 8=(1000)，C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8]

可以發現 ?C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i]，其中，k 為 i 的二進制中從最低位到高位連續零的長度，例如：i=8 時，k=3

要注意的是，樹狀數組只能計算 A[1] 開始的和，A[0] 這個元素是不能用的

【具體實現】

1.lowbit(x)

lowbit(x) 就是取出 x 的最低位 1，換言之 lowbit(x)=2^k，k 為 i 的二進制中從最低位到高位連續零的長度

那么有：C[i] = A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i] =?A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+......A[i]

對于一個數 x，想求其 lowbit，可借助 x 的負數 -x，進行與運算

例如：
t = 6(0110)，此時 k=1
-t = -6 = (1001+1) = (1010)
t&(-t) = (0010) = 2=2^1

//返回i的二進制最右邊1的值 int lowbit(int t){return t&(-t); }

2.區間查詢

利用 C[] 數組，求 A 數組中前 i 項的和 sum[i]

• 以?i=7 為例：sum[7] = A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]
  其中：C[4] = A[1]+A[2]+A[3]+A[4]，C[6] = A[5]+A[6]，C[7]=A[7]
  那么：sum[7] = C[4]+C[6]+C[7]
  改寫為二進制：sum[(111)] = C[(100)]+C[(110)]+C[(111)]
• 以 i=5 為例：sum[5] = A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]
  其中：C[4] = A[1]+A[2]+A[3]+A[4]，C[5]=A[5]
  那么：sum[5] = C[4]+C[5]
  改寫為二進制：sum[(101)] = C[(100)]+C[(101)];

仔細觀察最后改寫為二進制的數組，可以發現，樹狀數組根本上來說就是二進制的應用。

對于要求的前 x 項的和，每次加上 C[x]，然后令?x=x-lowbit(x)，如此循環往復，直到 x-lowbit(x)=0 為止

• 以 i=7 進行演示
  7(111)，ans+=C[7]
  7-lowbit(7) = 7-lowbit(111) = 7-1 = 6(110)，ans+=C[6]
  6-lowbit(6) =?6-lowbit(110) = 6-2 = 4(100)，ans+=C[4]
  4-lowbit(4) = 4-lowbit(100) = 4-4?= 0(000)?
  故有：sum[7] = C[4]+C[6]+C[7]
• 以 i=5 進行演示
  5(101)，ans+=C[5]
  5-lowbit(5) =?5-lowbit(101) = 5-1 = 4(100)，ans+=C[4]
  4-lowbit(4) = 4-lowbit(100) = 4-4 = 0(000)?
  故有：sum[5]=C[5]+C[4]

//返回A[1]+...A[i]的和 int getSum(int i){int res=0;while(i>0){res+=C[i];i-=lowbit(i);}return res; }

3.單點更新

當修改 A[] 數組中的某一個值時，需要對 C[] 數組進行更新

如圖：

當更新 A[1] 時，需要向上更新 C[1]、C[2]、C[4]、C[8]， 將 C[1]、C[2]、C[4]、C[8] 改寫為二進制：C[(001)]、C[(010)]、C[(100)]、C[(1000)]

則：

1(001)，C[1]+=A[1]
1+lowbit(1) = 1+lowbit(1) = 1+1 = 2(010)，C[2]+=A[1]
2+lowbit(2) = 2+lowbit(010) = 2+2 = 4(100)，C[4]+=A[1]
4+lowbit(4) = 4+lowbit(100) = 4+4 = 8(1000)，C[8]+=A[1]

可以發現：更新過程是查詢過程的逆過程。

//令A[i]+=val void add(int i,int val){while(i<=n){C[i]+=val;i+=lowbit(i);} }

【模版】

const int N=10000+5;//最大元素個數 int n;//元素個數 int c[N];//c[i]==A[i]+A[i-1]+...+A[i-lowbit(i)+1]//返回i的二進制最右邊1的值 int lowbit(int i){return i&(-i); }//返回A[1]+...A[i]的和 int getSum(int i){int res=0;while(i>0){res+=c[i];i-=lowbit(i);}return res; }//令A[i]+=val void add(int i,int val){while(i<=n){c[i]+=val;i+=lowbit(i);} }

【例題】

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的数据结构 —— 树状数组的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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