【概述】

DAG 圖的最長路問題是一個比較少見的問題，具體問題是：給出一個 DAG 圖，尋找圖中的最長路

在 AOE 網中，在找出關鍵路徑后，對其進行 DFS 即可得到圖的最長路，由于這種方法的實現過于繁瑣，這里介紹幾種較為簡單的實現。

【最短路算法】

對于最短路算法，Floyd，Dijkstra、Bellman-Ford、SPFA 等，將其松弛操作進行修改，即可將最短路算法變為最長路算法。

以 Floyd 為例：

int G[N][N]; void Floyd(){for(int k=1;k<=n;k++)for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)if(i!=k&&j!=i&&j!=k)if(g[i][j]<g[i][k]+g[k][j])g[i][j]=g[i][k]+g[k][j]; } int main(){int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)scanf("%d",&g[i][j]);Floyd();int res=-INF;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)res=max(g[i][j],res);printf("%d\n",res);return 0; }

【拓撲排序】

在拓撲排序的過程中，不斷記錄路徑，最后對路徑進行排序，輸出最大的那個即為 DAG 的最長路

struct Node{int to,dis;Node(){}Node(int to,int dis):to(to),dis(dis){} }; vector<Node> G[N]; int in[N]; int dis[N]; int n,m; void topSort() {stack<int > S;for(int i=1; i<=n; i++)if(!in[i])S.push(i);while(!S.empty()) {int x=S.top();S.pop();for(int j=0; j<G[x].size(); j++) {int y=G[x][j].to;dis[y]=max(dis[y],dis[x]+G[x][j].dis);in[y]--;if(!in[y])S.push(y);}} }int main() {int T;scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d%d",&n,&m);memset(in,0,sizeof(in));memset(dis,0,sizeof(dis));for(int i=0; i<=n; i++)G[i].clear();for(int i=1; i<=m; i++) {int x,y,dis;scanf("%d%d%d",&x,&y,&dis);Node temp;temp.to=y;temp.dis=dis;in[y]++;G[x].push_back(temp);}topSort();int res=-INF;for(int i=1;i<=n;i++)res=max(res,dis[i]);printf("%d\n",res);}return 0; }

【動態規劃】

1.不固定終點起點

當給定一個 DAG 圖時，要求整個圖中所有路徑中權值和最大的那條，即不固定終點和起點問題。

設 dp[i] 為從 i 點出發能獲得的最長路徑長度，G[i][j] 為從 i 點到 j 點的距離，這樣所有的 dp[i] 的最大值就是整個 DAG 的最長路徑長度，如果從 i 點出發，能直接到達頂點 j1、j2、...、jk，而 dp[j1]、dp[j2]、...、dp[k] 均已知，那么有：dp[i]=max{ dp[j]+G[i][j] }

根據上面的思路，由于最后的頂點沒有出邊，因此需要按照逆拓撲排序來求解 dp 數組，但可以利用遞歸來進行求解：由于從出度為 0 的頂點出發的最長路徑長度為 0，因此邊界就是這些點，在具體實現中不妨對整個 dp 數組初始化為 0，這樣 DP 函數當前訪問頂點i的出度為0時就會直接返回 dp[i]=0，而出度不為 0 的時候就會遞歸求解，遞歸過程中遇到已經計算過的頂點則直接返回對于的 dp 值，于是從邏輯上實現了逆拓撲排序的效果。

其基于鄰接矩陣實現的代碼如下：

int dp[N];//使用前整個數組設為0 int G[N][N]; int DP(int i) {if(dp[i]>0)return dp[i];for(int j=0; j<n; j++)//遍歷i的所有可達出邊if(G[i][j]!=INF)dp[i]=max(dp[i],DP(j)+G[i][j]);return dp[i]; }

當需要輸出這條最長路時，可以利用一個 next 數組來記錄 i 頂點的后繼結點，再求完最長路后，順序打印路徑即可

int DP(int i) {if(dp[i]>0)return dp[i];for(int j=0; j<n; j++) { //遍歷i的所有可達出邊if(G[i][j]!=INF) {int temp=DP(j)+G[i][j];//單獨計算dpif(dp[i]<temp) { //可以獲得更長的路徑dp[i]=temp;next[i]=j; //保存i的后繼頂點j}}}return dp[i]; } void printPath(int i) {//調用前需先獲得最大的dp[i],然后將i作為路徑的起點傳入printf("%d",i);while(next[i]!=-1) { //next數組初始化為-1i=next[i];printf("->%d",i);}printf("\n"); }

2.固定終點起點

給定一個 DAG 圖，給出一個起點和終點，要求從起點到終點的路徑中權值和最大的那條，即固定終點和起點問題。

設規定的終點為 T，那么設 dp[i] 為從 i 號點出發到達終點 T 所能獲得的最大長度，G[i][j] 為從 i 點到 j 點的距離，如果從 i 點出發，能直接到達頂點 j1、j2、...、jk，而 dp[j1]、dp[j2]、...、dp[k] 均已知，那么有：dp[i]=max{ dp[j]+G[i][j] }

可以發現，這個 dp 式子與上面不固定終點起點的問題相同，但問題的區別在于邊界：

第一個問題中，沒有固定的終點，因此邊界為所有出度為 0 的頂點，其?dp 值為 0

第二個問題中，固定了終點，因此邊界應當為 dp[T]=0，需要注意的是，由于從某頂點出發可能會無法到達終點 T，因此此時 dp 數組不能再全部初始化為 0，比較合適的做法是將 dp 初始化為一個極大的負數（-INF），來表達無法到達終點，然后設置一個 vis 數組來表示頂點是否已被訪問

int vis[N]; int G[N][N]; int dp[N];//使用前初始化為-INF,且終點dp[T]=0 int DP(int i) {if(vis[i]) return dp[i];vis[i]=true;for(int j=0; j<n; j++) { //遍歷i的所有可達出邊if(G[i][j]!=INF) {dp[i]=max(dp[i],DP(j)+G[i][j]);}}return dp[i]; }

【例題】

• Find the safest road（HDU-1596）(Floyd 變形求最長路)：點擊這里
• 矩形嵌套（NYOJ-16）(dp 求最長路)：點擊這里
• Skiing（2017 ACM-ICPC 亞洲區(烏魯木齊賽區)網絡賽 H）(拓撲排序求最長路)：點擊這里

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的图论 —— DAG 图的最长路的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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