Problem Description

對于給出的 n 個詢問，每次求有多少個數對 (x,y) ，滿足 a ≤ x ≤ b ， c ≤ y ≤ d ，且 gcd(x,y) = k ， gcd(x,y) 函數為 x 和 y 的最大公約數。

Input

第一行一個整數n，接下來n行每行五個整數，分別表示a、b、c、d、k

Output

共n行，每行一個整數表示滿足要求的數對(x,y)的個數

Sample Input

2
2 5 1 5 1
1 5 1 5 2

Sample Output

14
3

思路：

與?GCD（HDU-1695） 相似，但 x、y 不是從 1 開始，因此需要使用容斥原理來進行處理

題目實質是要求：

利用容斥定理來進行轉換，設

那么有：

因此，現在只需要考慮計算??即可

設 f(d) 為滿足 gcd(i,j)=d 的個數，即：

設 g(n) 為滿足 gcd(i,j)=d 的倍數的個數，即：

可以看出，f(d) 與 g(n) 符合莫比烏斯反演的形式：

那么，對于??進行化簡

將 f(k) 代入，有：

根據莫比烏斯反演，有：

設枚舉項??為 t

那么有?

為了優化時間，可以將??的 k 提出去，即有：

此時的復雜度為 O(n)，由于是多組查詢，發現式子中有整除，利用整除分塊求 mu 的前綴和，進行優化即可

Source Program

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<string> #include<cstring> #include<cmath> #include<ctime> #include<algorithm> #include<utility> #include<stack> #include<queue> #include<vector> #include<set> #include<map> #include<bitset> #define EPS 1e-9 #define PI acos(-1.0) #define INF 0x3f3f3f3f #define LL long long #define Pair pair<int,int> const int MOD = 1E9+7; const int N = 100000+5; const int dx[] = {1,-1,0,0,-1,-1,1,1}; const int dy[] = {0,0,-1,1,-1,1,-1,1}; using namespace std; int mu[N]; int prime[N]; bool bprime[N]; int cnt; LL sum[N]; void getMu(int n){//線性篩求莫比烏斯函數cnt=0;mu[1]=1;//根據定義，μ(1)=1memset(bprime,false,sizeof(bprime));for(int i=2;i<=n;i++){//求2~n的莫比烏斯函數if(!bprime[i]){prime[++cnt]=i;//存儲質數mu[i]=-1;//i為質數時，μ(1)=-1}for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){//枚舉i之前的素數個數bprime[i*prime[j]]=true;//不是質數if(i%prime[j])//i不是prime[j]的整數倍時，i*prime[j]就不會包含相同質因子mu[i*prime[j]]=-mu[i];//mu[k]=mu[i]*mu[prime[j]]，因為prime[j]是質數，mu值為-1else{mu[i*prime[j]]=0;break;//留到后面再篩}}}for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+mu[i]; } LL cal(LL n,LL m,LL k){//計算a在[1,n],b在[1,m]中GCD(a,b)=1的個數n/=k;m/=k;LL minn=min(n,m);LL res=0;for(int left=1,right;left<=minn;left=right+1){right=min(n/(n/left),m/(m/left));res+=(1LL)*(n/left)*(m/left)*(sum[right]-sum[left-1]);}return res; }int main(){getMu(100000);int t;scanf("%d",&t);int Case=1;while(t--){int a,b,c,d,k;scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);LL res=cal(b,d,k)-cal(a-1,d,k)-cal(c-1,b,k)+cal(a-1,c-1,k);printf("%lld\n",res);}return 0; }

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Problem b（BZOJ-2301/HAOI-2011）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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