图论 —— 二分图
【概述】
二分圖又稱作偶圖，是圖論中的一種特殊模型。
設 G=(V,E) 是一無向圖，若頂點 V 可分割為兩個互不相交的子集 (A,B)，且圖中的每條邊（i,j）所關聯的兩個頂點 i 和 j 分屬這兩個不同的頂點集 (i ∈?A,j ∈?B)，則稱圖 G 為一二分圖。
其充要條件是：圖 G 中至少存在兩個點，且圖中所有回路的長度均為偶數。
簡單來說，就是頂點集 V 可分割為兩個互不相交的子集，且圖中每條邊依附的兩個頂點都分屬于這兩個互不相交的子集，兩個子集內的頂點不相鄰。
當圖中的頂點分為兩個集合，使得第一個集合中的所有頂點都與第二個集合中的所有頂點相連時，此時是一特殊的二分圖，稱為完全二分圖。
【基本概念】
1.匹配
在給定一個二分圖 G，在 G 的一個子圖 M 中，若 M 的邊集中的任意兩條邊都不依附于同一個頂點，則稱 M 是一個匹配。
簡單來說，匹配就是一個二分圖中邊的集合，其中任意兩條邊都沒有公共頂點。
如圖，紅邊就是一個匹配
定義匹配點、匹配邊、未匹配點、非匹配邊，它們的含義非常顯然。例如上圖中 1、4、5、7 為匹配點，其他頂點為未匹配點；1-5、4-7為匹配邊，其他邊為非匹配邊。
2.最大匹配
給定二分圖 G 中的所有匹配，所含匹配邊數最多的匹配，稱為這個圖的最大匹配，選擇最大匹配的問題即為圖的最大匹配問題
如圖，紅邊就是一個最大匹配
3.完全匹配
一個匹配中，圖中每個頂點都與圖中某條邊相關聯，則稱此匹配為完全匹配，即一個圖的某個匹配中，所有的頂點都是匹配點，就是一個完全匹配。
顯然，由于完全匹配的任何一個點都已經匹配，添加一條新的匹配邊一定會與已有的匹配邊沖突，因此完全匹配一定是最大匹配。但要注意的是，并非每個圖都存在完全匹配。
簡單來說，對于一個二分圖，左點集中的每一個點都與右點集的一個點匹配，或者右點集中的每一個點都與左點集的一個點匹配。
4.完美匹配
對于一個二分圖，左點集與右點集的點數相同，若存在一個匹配，包含左點集、右點集的所有頂點，則稱為完美匹配。
簡單來說，對于一個二分圖，左點集中的每一個點都與右點集的一個點匹配，并且右點集中的每一個點都與左點集的一個點匹配。
如下圖，紅線所連接的匹配，不僅是一個完全匹配，還是一個完美匹配
5.最大匹配問題
舉例來說，如下圖所示，若存在某一對男孩和女孩之間存在相連的邊，就意味著他們彼此喜歡。是否可能讓所有男孩和女孩兩兩配對，使得每對兒都互相喜歡？這就是完全匹配問題。而最多有多少互相喜歡的男孩/女孩可以配對？這就是最大匹配問題。
6.最優匹配
帶權二分圖的權值最大的完全匹配稱為最佳匹配，要注意的是，二分圖的最優匹配不一定是二分圖的最大權匹配。
實質上最優匹配問題就是求邊權和最大的最大匹配問題。
求解技巧：可以添加一些權值為 0 的邊，使得最優匹配和最大權匹配統一起來。?
【相關算法】
- 二分圖判定：點擊這里
- 匈牙利算法：點擊這里
- KM 算法：點擊這里
其中，匈牙利算法常用于求最大匹配數、最小點覆蓋數、最大獨立集、最小路徑覆蓋數等；KM 算法常用于求最優匹配、邊權和最小的完全匹配、最小有向環覆蓋權值和、優先用原匹配邊構建的最優匹配等。
關于 DAG 圖的覆蓋與獨立集：點擊這里
【例題】
1.二分圖判定
2.匈牙利算法
1）最大匹配
2）最大獨立集
同題：Cat vs. Dog（HDU-2768）：點擊這里
同題：Girls and Boys（HDU1068）：點擊這里
3）最小點覆蓋數
同題：Machine Schedule（HDU-1150）：點擊這里
3.KM 算法
總結
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