Problem Description

Sigma function is an interesting function in Number Theory. It is denoted by the Greek letter Sigma (σ). This function actually denotes the sum of all divisors of a number. For example σ(24) = 1+2+3+4+6+8+12+24=60. Sigma of small numbers is easy to find but for large numbers it is very difficult to find in a straight forward way. But mathematicians have discovered a formula to find sigma. If the prime power decomposition of an integer is

Then we can write,

For some n the value of σ(n) is odd and for others it is even. Given a value n, you will have to find how many integers from 1 to n have even value of σ.

Input

Input starts with an integer T (≤ 100), denoting the number of test cases.

Each case starts with a line containing an integer n (1 ≤ n ≤ 1012).

Output

For each case, print the case number and the result.

Sample Input

4
3
10
100
1000

Sample Output

Case 1: 1
Case 2: 5
Case 3: 83
Case 4: 947

題意：t 組數據，每組給出 1 個數 n，求 1~n 中，所有數的約數和是偶數的數的個數

思路：

通過給的?

可以發現，式子中的每一項都是一個等比數列??的和

那么，

因此，對于式子?，只要其中的一項為偶數，那么??就一定為偶數，故而只要找到一項為偶數就可以

觀察式子可以發現：當??為偶數時，那么??一定為偶數，而?，那么由于 1+偶+偶+...+偶=奇，因此??一定是一個奇數，那么，只有當??為奇數時，?才可能為偶數

再看?，：

• 當??為偶數時，此時有偶數個奇數項，則：1+奇+奇+...+奇=奇，此時??仍為一個奇數
• 當 ?為奇數時，此時有奇數個奇數項，則：1+奇+奇+...+奇=偶，此時??才是一個偶數

因此，對 n 做素因子分解，只要存在一個??均為奇數，那么??就一定為偶數

然而這樣做會 TLE，因此還要進一步的推導：

我們可以考慮使用?總數-不滿足的數=滿足的數 來求解，也即求出所有??不均為奇數的數

當素因子分解后，有四種形式：奇^奇、偶^偶、奇^偶、偶^奇，根據前面的分析，只有當??均為奇數時，?才為偶數

那么，如果當素因子分解后，全是?偶^偶、奇^偶、偶^奇 的形式，因子和就一定為奇數

由于 2 是唯一的偶素數，我們將這個特殊的數拿出來分開考慮，根據唯一分解定理 ?

那么：

• 當??為偶數時，有 偶^偶、奇^偶 兩種情況，其能拆成某個數的平方，即：偶^偶=( 偶^(偶/2) )^2、奇^偶=( 奇^(偶/2) )^2，那么 偶^奇、奇^偶 則兩種情況就被 n 以內的平方數 給包含了，即有??種情況
• 當??為奇數時，有 偶^奇 一種情況，由于其一定能拆成 2*x^2 的形式，那么?偶^奇 的情況就被?n 以內的 2*平方數?給包含了，即有??種情況

故最后結果為：

Source Program

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<string> #include<cstring> #include<cmath> #include<ctime> #include<algorithm> #include<utility> #include<stack> #include<queue> #include<vector> #include<set> #include<map> #define PI acos(-1.0) #define E 1e-9 #define INF 0x3f3f3f3f #define LL long long const int MOD=10007; const int N=1000000+5; const int dx[]= {-1,1,0,0}; const int dy[]= {0,0,-1,1}; using namespace std; int main(){int t;scanf("%d",&t);int Case=1;while(t--){LL n;scanf("%lld",&n);LL temp1=(LL)sqrt(n);LL temp2=(LL)sqrt(n/2);printf("Case %d: %lld\n",Case++,n-temp1-temp2);}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Sigma Function（LightOJ-1336）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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