【差分數組】

差分數組不僅僅是一個優秀的線性結構，還是一種很好的思想，其主要用于修改區間、查詢單點，其中，修改區間的時間復雜度均為?O(1)，查詢單點的時間復雜度為 O(n)

對于已知有 n 個元素的離線數列 a，可以建立一個記錄它每項與前一項差值的差分數組 f[]，那么顯然有：

• f[1]=a[1]-0=a[1]
• f[i]=a[i]-a[i-1]

計算數列各項的值，可以發現：

• a[2]=f[1]+f[2]=a[1]+(a[2]-a[1])=a[2]
• a[3]=f[1]+f[2]+f[3]=a[1]+(a[2]-a[1])+(a[3]-a[2])=a[3]
• a[4]=f[1]+f[2]+f[3]+f[4]=a[1]+(a[2]-a[1])+(a[3]-a[2])+(a[4]-a[3])=a[4]
• ...

以此類推，可以發現數列 a 的第 i 項是可以用差分數組前 i 項和來計算的，即：a[i]=f[i] 的前綴和

計算數量每一項的前綴和，那么有：

即：可用差分數組來求出數列的前綴和

int a[N]; int f[N],sum[N]; void init(){f[1]=a[1];for(int i=2;i<=n;i++)//差分數組f[i]=a[i]-a[i-1];for(int i=1;i<=n;i++)//前綴和sum[i]=sum[i-1]+a[i]; }

【差分數組用途】

1.快速處理區間加減

假如現在要對數列區間 [L,R] 上的每個數都加上 x，那么通過 a[i]=f[i] 的前綴和 的性質可以知道：

• 第一個受影響的差分數組中的元素為 f[L]，所以令 f[L]+=x，那么后面數列元素在計算過程中都會加上 x
• 最后一個受影響的差分數組中的元素為 f[R]，所以令 f[R+1]-=x，那么可以保證不會影響到 R 以后數列元素的計算

這樣一來，就不必對區間內每一個數進行處理，只需處理兩個差分后的數即可

void add(int L,int R,int x){f[L]+=x;f[R+1]-=x; } void sub(int L,int R,int x){f[L]-=x;f[R+1]+=x; }

2.查詢單點

根據差分數組的性質，差分數組第?i 項的前綴和即為序列的第 i 項，因此可利用差分數組來計算原序列第?x 個點的值

int query(int x){int sum=0;for(int i=1;i<=x;i++)sum+=f[i];return sum; }

【模版】

int n,m; int a[N]; int f[N],sum[N]; void init(){//求差分數組f[1]=a[1];for(int i=2;i<=n;i++)//差分數組f[i]=a[i]-a[i-1]; } void add(int L,int R,int x){//區間[L,R]全部加上xf[L]+=x;f[R+1]-=x; } void sub(int L,int R,int x){//區間[L,R]全部減去xf[L]-=x;f[R+1]+=x; } void query(int x){//查詢序列第i項int sum=0;for(int i=1;i<=x;i++)sum+=f[i];return sum; } int main(){cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)//輸入序列cin>>a[i];init();//計算差分數組while(m--){//m個操作char op;cin>>op;if(op=='A'){//加操作int l,r,x;cin>>l>>r>>x;add(l,r,x);}else if(op=='S'){//減操作int l,r,x;cin>>l>>r>>x;sub(l,r,x);}else if(op=='Q'){//查詢操作int x;cin>>x;cout<<query(x)<<endl;}}return 0; }

【例題】

Color the ball（HDU-1556）(單點查詢)：點擊這里

借教室（洛谷-P1083）(差分數組+二分)：點擊這里

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性结构 —— 差分数组的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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