【概述】

對于兩個數列?、，他們之間滿足??，此時，若已知數組 a 和數列?，則可以推出?

那么反演過程就是找到一個數組 b，通過使用??的值，來反推出?，即：

如果只考慮上面兩個公式，整個方程組實際上是一個下三角矩陣的形式，因此從本質上來說，反演是一個解線性方程組的過程。

引入克羅內克函數：

由??可得?

考慮反演的過程：，將??代入，有：

對于最后一步，實質上是交換了求和順序，將第二步按照矩陣形式寫出，有：

可以看出，第二步是先對行進行，再將各行相加，那么第三步就是對列進行，然后再將各列相加，考慮每一個??的系數，顯然只有??的系數為 1

那么反演式??成立的充要條件是：

同理，將 f 代入 g 的求和式中，可以推出：

也就是說，如果某個數列滿足上面兩個條件，就可以直接建立起反演公式。

可以發現，快速傅里葉變換與逆變換、第一類斯特林數、第二類斯特林數、二項式定理等滿足這個條件，可以視為是一個反演的過程。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的组合计数与反演 —— 反演的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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