題目描述

神犇YY虐完數論后給傻×kAc出了一題

給定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)為質數的(x, y)有多少對

kAc這種傻×必然不會了，于是向你來請教……

多組輸入

輸入輸出格式

輸入格式：

第一行一個整數T 表述數據組數

接下來T行，每行兩個正整數，表示N, M

輸出格式：

T行，每行一個整數表示第i組數據的結果

輸入輸出樣例

輸入樣例#1：

2
10 10
100 100

輸出樣例#1：

30
2791

思路：

問題實質是求??的值

設 f(k) 為滿足?GCD(i,j)=k?的個數，即：

g(k) 為滿足 GCD(i,j)=k?的倍數的個數，即：

可以看出，g(k) 與 f(d) 間滿足莫比烏斯反演的形式：

那么，對??進行化簡

那么有：

將 f(k) 代入，得：

根據莫比烏斯反演：

將枚舉項??更換為 d

那么有：

設 T=d*p，那么有：

即：

此時，如果是單組查詢，可以直接做，時間復雜度為 O(n)，若為多組數據的話，此時需要加一個整除分塊，因此要預處理所有 T=d*p 對應的??的值，即設：?，sum(x) 是 F(x) 的前綴和

源代碼

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<string> #include<cstring> #include<cmath> #include<ctime> #include<algorithm> #include<utility> #include<stack> #include<queue> #include<vector> #include<set> #include<map> #include<bitset> #define PI acos(-1.0) #define INF 0x3f3f3f3f #define LL long long #define Pair pair<int,int> LL quickPow(LL a,LL b){ LL res=1; while(b){if(b&1)res*=a; a*=a; b>>=1;} return res; } LL quickModPow(LL a,LL b,LL mod){ LL res=1; a=a%mod; while(b){if(b&1)res=(a*res)%mod; a=(a*a)%mod; b>>=1;} return res; } LL getInv(LL a,LL mod){ return quickModPow(a,mod-2,mod); } // (a/b)%MOD=(a%MOD * getInv(b)%MOD)%MOD const double EPS = 1E-10; const int MOD = 1E9+7; const int N = 10000000+5; const int dx[] = {-1,1,0,0,-1,-1,1,1}; const int dy[] = {0,0,-1,1,-1,1,-1,1}; using namespace std; int mu[N]; int prime[N],cnt; bool bprime[N]; int F[N]; LL sum[N];void getMu(int n){//線性篩求莫比烏斯函數cnt=0;mu[1]=1;//根據定義，μ(1)=1memset(bprime,false,sizeof(bprime));for(int i=2;i<=n;i++){//求2~N-1的莫比烏斯函數if(!bprime[i]){prime[++cnt]=i;//存儲質數mu[i]=-1;//i為質數時，μ(1)=-1}for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){//枚舉i之前的素數個數bprime[i*prime[j]]=true;//不是質數if(i%prime[j])//i不是prime[j]的整數倍時，i*prime[j]就不會包含相同質因子mu[i*prime[j]]=-mu[i];//mu[k]=mu[i]*mu[prime[j]]，因為prime[j]是質數，mu值為-1else{mu[i*prime[j]]=0;break;//留到后面再篩}}}for(int j=1;j<=cnt;j++)for(int i=1;i*prime[j]<=n;i++)F[i*prime[j]]+=mu[i];for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+(LL)F[i]; }int main() {getMu(10000000);int t;scanf("%d",&t);while(t--){int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);int minn=min(n,m);LL res=0;for(int left=1,right;left<=minn;left=right+1){//整除分塊right=min(n/(n/left),m/(m/left));res+=1ll*(n/left)*(m/left)*(sum[right]-sum[left-1]);}printf("%lld\n",res);}return 0; }

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的YY的GCD（洛谷-P2257）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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