【概述】

二叉排序樹的查找效率取決于二叉排序樹的形態，而構造一棵形態均勻的二叉排序樹與結點的插入次序有關，但結點的插入次序不是隨人的意志決定的，這就要求我們找到一種動態平衡的方法，對于任意給定的關鍵碼序列都能構造一科形態均勻、平衡的二叉排序樹。

平衡二叉樹（Balance Binary Tree）又稱 AVL 樹，其本質是一種高度平衡的二叉排序樹，其或是一棵空的二叉排序樹，或是滿足以下性質的二叉排序樹：

• 根結點的左子樹和右子樹深度最多相差 1
• 根結點的左子樹和右子樹也是平衡二叉樹

根據平衡二叉樹的定義，將某個結點的左子樹的深度與右子樹的深度之差稱為平衡因子（Balance Factor），將在平衡二叉樹構造過程中，以距離插入結點最近的、且平衡因子絕對值大于 1 的結點為根的子樹稱為最小不平衡子樹（Minimal Unbalance SubTree）

【平衡二叉樹的構造】

構造平衡二叉樹的基本思想是：在構造二叉排序樹的過程中，每插入一個結點時，首先檢查是否因結點插入而破壞了樹的平衡性，若是，則找出最小不平衡子樹，在保持二叉排序樹的特性前提下，調整最小不平衡子樹中各結點的位置，進行相應旋轉，使其成為新的平衡子樹。

設結點 A 為最小平衡樹的根結點，對該子樹進行平衡調整歸納起來有以下四種情況：

1.LL 型

當新插入的結點是插在結點 A 的左孩子的左子樹上，即為 LL 型。

設結點 B 是結點 A 的左子樹的根結點，Bl、Br 分別為結點 B 的左右子樹，Ar 為結點 A 的右子樹，且 Bl、Br、Ar 三棵子樹的深度均為 h，將結點 x 插入到結點 B 的左子樹 Bl 上，導致結點 A 的平衡因子由 1 變為 2，使得以結點 A 為根的子樹失去了平衡，如下圖：

將支撐點由 A 改為 B，相應的進行順時針旋轉，旋轉后，結點 A 及其右子樹 Ar 和結點 B 的右子樹?Br 發生沖突，按旋轉優先原則，結點 A 成為 B 的右孩子結點，結點 B 的右子樹 Br 成為結點 A 的左子樹，如下圖：

2.RR 型

當新插入的結點是插在結點 A 的右孩子的右子樹上，即為 RR?型。

設結點 B 是結點 A 的右子樹的根結點，Bl、Br 分別為結點 B 的左右子樹，Al?為結點 A 的左子樹，且 Bl、Br、Ar 三棵子樹的深度均為 h，將結點 x 插入到結點 B 的右子樹 Br?上，導致結點 A 的平衡因子由 -1?變為 -2，使得以結點 A 為根的子樹失去了平衡，如下圖：

將支撐點由 A 改為 B，相應的進行逆時針旋轉，旋轉后，結點 A 及其左子樹 Al?和結點 B 的左子樹?Bl?發生沖突，按旋轉優先原則，結點 A 成為 B 的左孩子結點，結點 B 的左子樹 Bl?成為結點 A 的右子樹，如下圖：

3.LR 型

當新插入的結點是插在結點 A 的左孩子的右子樹上，即為 LR?型。

設結點 B 是結點 A 的左子樹的根結點，結點 C 是結點 B 的右子樹的根節點，Ar?為結點 A 的右子樹，Bl?為結點 B 的左子樹，Cl、Cr 分別為結點 C 的左右子樹，且 Bl、Ar 兩棵子樹的深度為 h，Cl、Cr 兩棵子樹的深度為 h-1，將結點 x 插入到結點 C?的左子樹 Cl?上，導致結點 A 的平衡因子由 1?變為 2，使得以結點 A 為根的子樹失去了平衡，如下圖：

對于 LR 型，需旋轉兩次：

1）第一次旋轉：根節點 A 不動，調整結點 A 的左子樹，將支撐點由結點 B 調整到結點 C 處，相應的進行逆時針旋轉，旋轉后，結點 B 及其左子樹與結點 C 的左子樹 Cl 發生沖突，按旋轉優先原則，結點 C 的左子樹成為 B 的右子樹，如下圖：

2）第二次旋轉：將支撐點由結點 A 調整到結點 C，?相應的進行順時針旋轉，旋轉后，結點 A 及其右子樹 Ar 與結點 C 的右子樹 Cr 發生沖突，按旋轉優先原則，結點 C 的右子樹成為結點 A 的左子樹，如下圖：

4.RL 型

當新插入的結點是插在結點 A 的右孩子的左子樹上，即為 RL 型。

設結點 B 是結點 A 的右子樹的根結點，結點 C 是結點 B 的左子樹的根節點，Al?為結點 A 的左子樹，Br?為結點 B 的右子樹，Cl、Cr 分別為結點 C 的左右子樹，且 Br、Al?兩棵子樹的深度為 h，Cl、Cr 兩棵子樹的深度為 h-1，將結點 x 插入到結點 C?的右子樹 Cr?上，導致結點 A 的平衡因子由 -1?變為 -2，使得以結點 A 為根的子樹失去了平衡，如下圖：

對于 RL 型，需旋轉兩次：

1）第一次旋轉：根節點 A 不動，調整結點 A 的右子樹，將支撐點由結點 B?調整到結點 C 處，相應的進行順時針旋轉，旋轉后，結點 B 及其右子樹與結點 C 的右子樹 Cr?發生沖突，按旋轉優先原則，結點 C 的右子樹成為 B 的左子樹，如下圖：

2）第二次旋轉：將支撐點由結點 A 調整到結點 C，?相應的進行逆時針旋轉，旋轉后，結點 A 及其左子樹 Al?與結點 C 的左子樹 Cl?發生沖突，按旋轉優先原則，結點 C 的左子樹成為結點 A 的右子樹，如下圖：

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的理论基础 —— 查找 —— 平衡二叉树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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