【概述】

分數規劃的一般形式為：

特別的，當??時，稱為 01 分數規劃

簡單來說，就是有一些二元組 (a[i],b[i])，現在從中選擇某些二元組，使得??最大或最小

這一類題通用的解法是利用二分法來解決：

假設 x 為最優解，對應的最優函數值為?λ，那么有：

即：

于是可以構造函數?

當??時，此時 λ 即為最優解

也就是說，當某一個值 λ?滿足上述式子的時候，就是要求的值，因此可以直接二分答案：當上述式子 >0，說明答案小了，更改左區間；當上述式子 <0，說明答案大了，更改右區間

double left=0,right=1; while(left-right<=EPS) {double mid=(left+right)/2;double G=INF;for(int i=1;i<=n;i++) G=min(G, a[i]-mid*b[i]);if(judge(G))left=mid;elseright=mid; }

【Dinkelbach 算法】

對于 01 規劃問題，除了利用基本的二分答案來解決外，還有一個常用的算法：Dinkelbach 算法

Dinkelbach 算法是一種的迭代算法，其核心思想是：對于一個值 λ ，我們找到其最優解 x，然后再用解 x 來代替 λ ，即令?λ=f(x)，然后繼續迭代，直到 λ 的值不再變動，此時即得出最優解。

double init=0.5;//初始值可隨意設置 while(fabs(init-res)>EPS) {res=left;//記錄比率for(int i=1;i<=n;i++)//計算函數G G=min/max(G,a[i]-init*b[i]);double p=0,q=0;for(int i=1;i<=m;i++){//計算新比率p+=a[i];q+=b[i];}init=p/q;//更新比率 }

【常見模型】

01 規劃問題，除了上述的基本模型外，還有以下三種常見的模型

1.最優比率生成樹

1）問題：對于給定的帶權無向圖 G，對于圖中的每條邊 edge[i]，都有 value[i] 與 cost[i]，現在要求一棵生成樹 T，使得?最大化或最小化，這個生成樹 T，即為最優比率生成樹

2）解決：如果一條邊 edge[i]∈T，那么 x[i]=1，否則 x[i]=0，因此可以直接套用 01 規劃分數模型

二分法：二分答案 mid，對邊重賦值 weight[i]=value[i]-mid*cost[i]，由于是生成樹，因此邊的數量固定為 n-1 條，因此如果要最大化，只要選取前 n-1 大的 weight[i]，也即求最大生成樹，如果要最小化，就求最小生成樹，最后按最大生成樹的權值正負性進行二分

Dinkelbach 算法：設置初始值 init，對邊同樣重賦值 weight[i]=value[i]-init*cost[i]，對于最大化來說，求最大生成樹，找到其邊集，對其邊集找橫截距當作下一次的答案，進行迭代

2.最優比率環

1）問題：給定一個存在環的有向圖 G，每個點都有一個權值 value[i]，每條邊也有一條權值 cost[i]，現在要求一個環 C，使得環的?最大化或最小化（在一個環中，點數與邊數是相同的），這個環，即為最優比率環

2）解決：

假設答案為 x，那么對于任意一個環

當要最大化時，有：，化簡得：

即：

同理，當要最小化時，有：

因此可以直接套用 01 規劃分數模型

二分法：設當前答案為 mid，當 mid<x 時，至少存在一個環，使得?，即存在負權回路；當 mid>=x 時，不存在負環，因此可在利用 SPFA 求負環的過程中對邊進行重賦值，從而進行二分，即如果存在負環，即增大下界，若一直不可行，則無解

Dinkelbach 算法：由于使用 Dinkelbach 算法需要在不斷迭代的過程中記錄負環，實現較為復雜，因此一般在該模型中不采用該方法

3.最大密度子圖

`1）問題：給出一個 n 個點 m 條邊的無向圖，現在要選擇一個子圖，使得這個子圖中邊數與點數的比例最大化，這個子圖，即為最大密度子圖

2）解決：

設 g 為最大比率，若要找一個最大密度子圖，那么可以參考 01分數規劃的基本模型來構造一個函數 h(g)=|E'|-g*|V'|，當 h(g)=0 時，g 即為最優值

關于兩種解法的詳細證明參見?胡伯濤的《最小割模型在信息學競賽中的應用》：點擊這里

二分+最大權閉合圖：

可以發現，邊與點具有依賴關系，即邊存在的必要條件是點的存在，那么我們可以將邊看作點，根據 g 的值來構建一個新圖，即：將原圖中所有代表邊的點向他的兩個端點連接一條有向邊

那么可以直觀的看出，如果選擇一條邊，那么這條邊的兩個端點必然也被選擇，也就是一個閉合子圖的模型

因此，在二分 g 的過程中，不斷的建圖來判斷 g 的正負從而調整邊界即可

void makeMap(double g) {memset(head,-1,sizeof(head)); tot=0;for(int i=1;i<=n;i++)//原圖中的點到匯點 addedge(i,T,g); for(int i=0;i<m;i++) { //源點到原圖中的每條邊addedge(S,n+i+1,1.0);//原圖中的每條邊到之間建邊addedge(n+i+1,pastEdge[i].first,INF); addedge(n+i+1,pastEdge[i].second,INF); } }

二分+最小割：

設 g 為最大比率，在建圖時從源點到各點連接一條容量為 m?的單向邊，從各點到匯點連接一條容量為 m+2*g-degree[i] 的單向邊，其中 degree[i] 代表第 i 個點的度數，這樣以后對這個圖求最小割，那么?h(g)=(n*m-maxFlow)/2

因此在二分時，通過?g 值求出的最小割來判斷正負，于是根據這個結果的正負就可以修改左右邊界，直到達到一個最優值

void makeMap(double g) {memset(head,-1,sizeof(head)); tot=0;for (int i = 1; i <= n; i++) {//原圖中的點addedge(S, i, m * 1.0);addedge(i, T, m + 2 * g - degree[i]);}for (int i = 0; i < m; i++) {//原圖中的邊addedge(pastEdge[i].first, pastEdge[i].second, 1.0);addedge(pastEdge[i].second, pastEdge[i].first, 1.0);} }

【例題】

• Dropping tests（POJ-2976）(標準模型+二分解法)：點擊這里
• Dropping tests（POJ-2976）(標準模型+Dinkelbach 算法)：點擊這里
• Desert King（POJ-2728）(最優比率生成樹+二分解法)：點擊這里
• Desert King（POJ-2728）(最優比率生成樹+Dinkelbach 算法)：點擊這里
• Sightseeing Cows（POJ-3621）(最優比率環+二分解法)：點擊這里
• Hard Life（POJ-3155）(最大密度子圖+最大權閉合圖)：點擊這里
• Hard Life（POJ-3155）(最大密度子圖+最小割)：點擊這里

總結

以上是生活随笔為你收集整理的分治 —— 01 分数规划的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。