【基本概念】

歐拉通路：通過圖中所有邊一次且僅一次行遍所有頂點的通路

歐拉回路：通過圖中所有邊一次且僅一次行遍所有頂點的回路

歐拉圖：具有歐拉回路的圖

半歐拉圖：具有歐拉通路而無歐拉回路的圖

奇度點：與點相連的邊的數目為奇數的點

偶度點：與點相連的邊的數目為偶數的點

【歐拉通路/回路的判定】

1.無向圖

1）歐拉通路：圖是連通的，圖中只有兩個奇度點，分別是歐拉通路的兩個端點

對于歐拉通路，除起點、終點外，每個點如果進入，顯然一定要出去，因此都是偶點

2）歐拉回路：圖是連通的，點均為偶度點

對于歐拉回路，每個點進入、出去的次數相等，因此沒有奇點

2.有向圖

1）歐拉通路：圖是連通的，除兩頂點外其余點的入度等于出度，且這兩個頂點中，一個頂點入度比出度大1（起點），另一個入度比出度小1（終點）

2）歐拉回路：圖是連通的，圖中所有點的入度等于出度。

3.Fleury 算法

Fleury 算法是用于求無向圖中歐拉回路的算法，其基本思想如下：

任取圖 G 中一頂點 v0，令 P0=v0

假設沿 Pi=v0e1v1e2...eivi，走到頂點 vi，按下面的方法從 E(G)-{e1,e2,...,ei} 中選擇 ei+1:
1）ei+1 與 vi 相關聯
2）除非無別的邊可供選擇，否則 ei+1 不應是 Gi=G-{e1,e2,...,ei} 中的橋

當 2 不能再進行時，算法停止

可以證明的是，當算法停止時，所得到簡單回路?Pm=v0e1v1e2...emvm(vm=v0) 為G中的歐拉回路

int n,m; int start;//起點 int num;//奇度頂點個數 int degree[N];//頂點的度 int path[N];//存儲歐拉回路 int cnt;//歐拉回路計數器 bool G[N][N]; stack<int> S; void dfs(int x){S.push(x);for(int i=1;i<=n;i++){if(G[x][i]){G[x][i]=false;G[i][x]=false;dfs(i);break;}} } void Fleury(int x){S.push(x);while(!S.empty()){bool flag=false;for(int i=1;i<=n;i++){if(G[S.top()][i]==true){ //與起點有關聯的邊flag=true;break;}}if(flag==true){ //如果有關聯的邊int temp=S.top();S.pop();dfs(temp);}else{ //如果沒有有關聯的邊path[cnt++]=S.top();S.pop();}} } int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);G[x][y]=1;G[y][x]=1;degree[x]++;degree[y]++;}cnt=1;num=0;start=1;for(int i=1;i<=n;i++){if(degree[i]&1){//如果某點的度是奇數if(num==0)//記錄起點start=i;num++;//奇度點個數+1}}if(num==0||num==2){//如果存在奇度頂點，則從奇度頂點出發，否則從頂點0出發Fleury(start);for(int i=cnt-1;i>=1;i--)printf("%d ",path[i]);printf("\n");}elseprintf("No Euler path.\n");return 0; }

4.并查集判斷無向圖中是否存在歐拉回路

當給出一個無向圖時，若要求判斷圖中是否存在歐拉回路，可以使用并查集判斷圖是否連通，并統計每個節點的度數，依次來判斷是否存在。

若圖連通且所有點的度數為偶數，則說明該無向圖中存在歐拉回路。

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #define N 1001 using namespace std; int n,m; int degree[N]; int father[N]; int Find(int x){if(father[x]==-1)return x;return father[x]=Find(father[x]); } void Union(int x,int y){x=Find(x);y=Find(y);if(x!=y)father[x]=y; } int main(){while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){memset(degree,0,sizeof(degree));memset(father,-1,sizeof(father));for(int i=1;i<=m;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);degree[x]++;degree[y]++;Union(x,y);}int cnt=0;//記錄連通分量for(int i=1;i<=n;i++)if(Find(i)==i)cnt++;if(cnt!=1)//若cnt大于1，說明圖不連通printf("NO\n");else{int num=0;//統計度數為奇數的點for(int i=1;i<=n;i++)if(degree[i]&1)num++;if(num==0)printf("YES\n");elseprintf("NO\n");}}return 0; }

【應用】

對于一般的單詞首尾相連的問題，通常都是轉化為有向圖的歐拉通路問題。

例如：給出多個單詞，問能不能將所有單詞組成一個序列，序列的前一個單詞的尾字母與后一個單詞的頭字母相同

如果把每個單詞看出無向的邊，那么最終求出的歐拉通路可能存在兩個單詞尾部和尾部相連的情況。

1.無向歐拉圖打印歐拉通路/回路

輸入保證一個有?n 個點，m 條邊的具有歐拉回路或歐拉路徑的無向圖，要求打印出圖的歐拉回路或通路。

如果要打印歐拉通路，輸入的 start 一定要是起點之一，即：，否則只是亂序打印圖中所有的邊。

#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<stack> #define N 1001 using namespace std; int n,m; int G[N][N]; bool vis[N][N];//vis[i][j]=1表示點i到j之間存在一條邊 void euler(int x){//打印以x為起點的歐拉回路或通路for(int y=1;y<=n;y++){if(vis[x][y]||vis[y][x]){vis[x][y]=0;//去掉x-y這條邊vis[y][x]=0;//去掉y-x這條邊euler(y);//首尾相連逆序打印歐拉通路//printf("%d %d\n",x,y);}}//逆序打印歐拉回路printf("%d ",x); } int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);G[x][y]=1;G[y][x]=1;vis[x][y]=1;vis[y][x]=1;}int start;scanf("%d",&start);euler(start);//打印以x為起點的歐拉回路或通路return 0; }

2.有向歐拉圖打印歐拉通路/回路

輸入保證是一?n 個點，m 條邊的具有歐拉回路或歐拉路徑的有向圖，要求打印出圖的歐拉回路或通路。

如果要打印歐拉通路，那么輸入的 start 一定要是起點之一，即：，否則只是亂序打印圖中所有的邊。

1）鄰接矩陣實現

#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<stack> #define N 1001 using namespace std; int n,m; int G[N][N]; bool vis[N][N];//vis[i][j]=1表示點i到j之間存在一條邊 void euler(int x){//打印以x為起點的歐拉回路或通路for(int y=1;y<=n;y++){if(vis[x][y]){vis[x][y]=0;//去掉x-y這條邊euler(y);//首尾相連逆序打印歐拉通路//printf("%d %d\n",x,y);}}//逆序打印歐拉回路printf("%d ",x); } int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);G[x][y]=1;vis[x][y]=1;}int start;scanf("%d",&start);euler(start);//打印以x為起點的歐拉回路或通路return 0; }

2）鄰接鏈表實現

struct Edge{int endd;bool vis;Edge(int endd,bool vis):endd(endd),vis(vis){} }; int n,m; vector<Edge> G[N]; void euler(int x) {for(int i=G[x].size()-1; i>=0;i--) {if (!G[x][i].vis){G[x][i].vis = 1;euler(G[x][i].endd);}}printf("%d\n",x); }int main() {scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);G[x].push_back(Edge(y,false));G[y].push_back(Edge(x,false));}int start=1;euler(start);return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的图论 —— 图的遍历 —— 欧拉通路与欧拉回路问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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