Problem Description

棟棟有一塊長方形的地，他在地上種了一種能量植物，這種植物可以采集太陽光的能量。在這些植物采集能量后，棟棟再使用一個(gè)能量匯集機(jī)器把這些植物采集到的能量匯集到一起。 棟棟的植物種得非常整齊，一共有n列，每列有m棵，植物的橫豎間距都一樣，因此對(duì)于每一棵植物，棟棟可以用一個(gè)坐標(biāo)(x, y)來表示，其中x的范圍是1至n，表示是在第x列，y的范圍是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量匯集機(jī)器較大，不便移動(dòng)，棟棟將它放在了一個(gè)角上，坐標(biāo)正好是(0, 0)。 能量匯集機(jī)器在匯集的過程中有一定的能量損失。如果一棵植物與能量匯集機(jī)器連接而成的線段上有k棵植物，則能量的損失為2k + 1。例如，當(dāng)能量匯集機(jī)器收集坐標(biāo)為(2, 4)的植物時(shí)，由于連接線段上存在一棵植物(1, 2)，會(huì)產(chǎn)生3的能量損失。注意，如果一棵植物與能量匯集機(jī)器連接的線段上沒有植物，則能量損失為1。現(xiàn)在要計(jì)算總的能量損失。 下面給出了一個(gè)能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上標(biāo)明了能量匯集機(jī)器收集它的能量時(shí)產(chǎn)生的能量損失。 在這個(gè)例子中，總共產(chǎn)生了36的能量損失。

Input

僅包含一行，為兩個(gè)整數(shù)n和m。

Output

僅包含一個(gè)整數(shù)，表示總共產(chǎn)生的能量損失。

Examples

Input1

5 4

Output1

36

Input2

3 4

Output2

20

思路：

已知從一個(gè)點(diǎn) (x,y) 到原點(diǎn)的能量損失為兩點(diǎn)連成一條直線后，直線上的點(diǎn)數(shù)*2+1

那么考慮橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，畫個(gè)圖算幾組數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，將 (0,0)、(x,y)?兩點(diǎn)連成一條線后，出去這條線上的兩個(gè)端點(diǎn)有 GCD(x,y)-1 個(gè)點(diǎn)，那么每個(gè)點(diǎn)的貢獻(xiàn)就是

設(shè) f(d) 為 gcd(x,y)=d 的點(diǎn)的數(shù)量，那么問題就轉(zhuǎn)化為計(jì)算：

由于?，因此最終答案為：

因此，問題的關(guān)鍵是快速計(jì)算：

設(shè) g(d) 為 滿足 d|gcd(x,y)?的個(gè)數(shù)，即：

可以看出，g(k)、f(d) 符合莫比烏斯反演的形式：

于是有：

設(shè)?，那么：

所以：

此時(shí)的復(fù)雜度是 O(n^2) 的，發(fā)現(xiàn)式子中有整除，利用整除分塊兩次求和，每次時(shí)間復(fù)雜度為 O(√n)，總復(fù)雜度為 O(√n*√n) 即 O(n)

Source Program

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<string> #include<cstring> #include<cmath> #include<ctime> #include<algorithm> #include<utility> #include<stack> #include<queue> #include<vector> #include<set> #include<map> #include<bitset> #define PI acos(-1.0) #define INF 0x3f3f3f3f #define LL long long #define Pair pair<int,int> LL quickPow(LL a,LL b){ LL res=1; while(b){if(b&1)res*=a; a*=a; b>>=1;} return res; } LL quickModPow(LL a,LL b,LL mod){ LL res=1; a=a%mod; while(b){if(b&1)res=(a*res)%mod; a=(a*a)%mod; b>>=1;} return res; } LL getInv(LL a,LL mod){ return quickModPow(a,mod-2,mod); } const double EPS = 1E-10; const int MOD = 1E9+7; const int N = 100000+5; const int dx[] = {-1,1,0,0,-1,-1,1,1}; const int dy[] = {0,0,-1,1,-1,1,-1,1}; using namespace std;int mu[N]; int prime[N]; bool bprime[N]; int cnt; LL sum[N]; void getMu(int n){//線性篩求莫比烏斯函數(shù)cnt=0;mu[1]=1;//根據(jù)定義，μ(1)=1memset(bprime,false,sizeof(bprime));for(int i=2;i<=n;i++){//求2~n的莫比烏斯函數(shù)if(!bprime[i]){prime[++cnt]=i;//存儲(chǔ)質(zhì)數(shù)mu[i]=-1;//i為質(zhì)數(shù)時(shí)，μ(1)=-1}for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++){//枚舉i之前的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)bprime[i*prime[j]]=true;//不是質(zhì)數(shù)if(i%prime[j])//i不是prime[j]的整數(shù)倍時(shí)，i*prime[j]就不會(huì)包含相同質(zhì)因子mu[i*prime[j]]=-mu[i];//mu[k]=mu[i]*mu[prime[j]]，因?yàn)閜rime[j]是質(zhì)數(shù)，mu值為-1else{mu[i*prime[j]]=0;break;//留到后面再篩}}}for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+mu[i]; } LL cal(LL n,LL m,LL minn){LL res=0;for(LL left=1,right;left<=minn;left=right+1){right=min(n/(n/left),m/(m/left));res+=(sum[right]-sum[left-1])*(n/left)*(m/left);} return res; } int main(){getMu(100000);LL n,m;scanf("%lld%lld",&n,&m);LL res=0;LL minn=min(n,m);for (LL left=1,right;left<=minn;left=right+1){right=min(n/(n/left),m/(m/left));LL temp=(LL)(right+left)*(right-left+1)/2;res+=cal(n/left,m/left,minn/left)*temp;}res=res*2-n*m;printf("%lld\n",res);// system("pause");return 0; }

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的能量采集（HYSBZ-2005）的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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