【概述】

矩陣快速冪利用矩陣的乘法與整數(shù)快速冪的結(jié)合，能夠快速的算出?n 階方陣?A 的 M 次冪 A^b，其結(jié)果仍是一個(gè)矩陣，無(wú)具體含義，在信息學(xué)競(jìng)賽中，矩陣快速冪常用于求解線(xiàn)性遞推關(guān)系。

關(guān)于矩陣的基礎(chǔ)知識(shí)：點(diǎn)擊這里

關(guān)于線(xiàn)性遞推關(guān)系：點(diǎn)擊這里

【n*m 矩陣的快速冪】

struct Matrix{LL s[N][N]; }; Matrix e;//單位矩陣E Matrix x;//構(gòu)造矩陣 void init(int n){for(int i=1;i<=n;i++)//主對(duì)角線(xiàn)為1e.s[i][i]=1; } Matrix mul(Matrix A,Matrix B,LL n){//矩陣乘法，n代表A、B兩個(gè)矩陣是n階方陣Matrix temp;//臨時(shí)矩陣，存放A*B結(jié)果for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)temp.s[i][j]=0;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)for(int k=1;k<=n;k++)temp.s[i][j]=((temp.s[i][j]+A.s[i][k]*B.s[k][j])%MOD+MOD)%MOD;return temp; } Matrix quickPower(Matrix a,LL b,LL n){//矩陣快速冪，求n階矩陣a的b次冪Matrix ans=e;while(b){if(b&1)ans=mul(ans,a,n);//ans=e*aa=mul(a,a,n);//a=a*ab>>=1;}return ans; } int main(){LL n,m; //構(gòu)造矩陣的大小、階scanf("%lld%lld",&n,&m);init(n);//單位矩陣初始化for(int i=1;i<=n;i++)//輸入構(gòu)造矩陣，也可通過(guò)題目的遞推公式來(lái)構(gòu)造矩陣for(int j=1;j<=n;j++)cin>>x.s[i][j];Matrix res=quickPower(x,m,n);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++)printf("%lld ",res.s[i][j]);printf("\n");}return 0; }

【1*n?矩陣的快速冪】?

struct Matrix{LL s[N];//1*n的矩陣 }; Matrix e;//單位矩陣E Matrix x;//構(gòu)造矩陣x void init(int n){//單位矩陣的第一行for(int i=1;i<=n;i++)e.s[i]=0;e.s[1]=1; } Matrix mul(Matrix A,Matrix B,LL n){//矩陣乘法Matrix temp;//臨時(shí)矩陣，存放矩陣A*矩陣B的結(jié)果for(int i=1;i<=n;i++)temp.s[i]=0;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=i;j++)temp.s[i]=(temp.s[i]+(A.s[j]*B.s[i-j+1])%MOD)%MOD;return temp; } Matrix quickPower(Matrix A,LL k,LL n){//矩陣快速冪Matrix res=e;while(k){if(k&1)res=mul(A,res,n);//res=A*eA=mul(A,A,n);//A=A*Ak>>=1;}return res; } int main(){LL n,k;scanf("%lld%lld",&n,&k);init(n);for(int i=1;i<=n;i++)//構(gòu)造矩陣初始值，根據(jù)題目要求推導(dǎo)x.s[i]=1;Matrix res=quickPower(x,k,n);//k次冪for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",res.s[i]);printf("\n");return 0; }

【矩陣 1~k 次冪的和】

原理：二分求和

• 當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí)：
• 當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí)：

struct Matrix{LL s[N][N]; }; Matrix add(Matrix A,Matrix B){//A+BMatrix temp;for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<n;j++)temp.s[i][j]=(A.s[i][j]+B.s[i][j])%mod;return temp; } Matrix sum(Matrix A,int k){//A+A^2+A^3+…+A^kif(k==1)return A;if(k%2){Matrix temp=sum(A,k-1);Matrix pow=quickPow(A,k);return add(temp,pow);}else {Matrix temp=sum(A,k>>1);Matrix pow=add(quickPow(A,k>>1),E);return mul(temp,pow);} }

【經(jīng)典問(wèn)題：共軛矩陣的構(gòu)造】

1.問(wèn)題

對(duì)于給出的 a、b、m、n，當(dāng)滿(mǎn)足? 時(shí)，求：

2.思路

設(shè)?，配項(xiàng)?，并令?

由于 An、Bn 恰好共軛，因此 An、Bn 的和與積均為有理數(shù)

根據(jù)??，可知 Bn<1

因此?，那么?

故而可根據(jù) Cn 來(lái)構(gòu)造共軛矩陣，進(jìn)行矩陣快速冪來(lái)求 Sn

3.共軛式的構(gòu)造

根據(jù)??構(gòu)造共軛矩陣

對(duì) Cn 兩端同乘?，有：

進(jìn)行化簡(jiǎn)：

寫(xiě)成矩陣形式：

再遞推一步：

其中，

然后根據(jù)構(gòu)造的矩陣進(jìn)行矩陣快速冪計(jì)算結(jié)果即可

【例題】

Fast Matrix Calculation（HDU-4965）(矩陣化簡(jiǎn))：點(diǎn)擊這里

So Easy!（HDU - 4565）(共軛矩陣的構(gòu)造)：點(diǎn)擊這里

Partial Sums（CF-223B）(1*n 的矩陣快速冪)：點(diǎn)擊這里

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数 —— 矩阵快速幂的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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