【思想基礎】

普通莫隊常用于維護區間答案，比如：對于一個長度為 n 的序列，給出 m 次詢問，每次詢問區間 [l,r] 內有多少個不同的顏色，其中 n,m<=100000.

首先考慮暴力，對于每次詢問，遍歷一遍 [l,r]，這樣的時間復雜度是 O(n*m) 的，最壞時間復雜度肯定會超時，那么考慮換一種方式進行暴力。

定義 ql、qr，表示區間?[ql,qr] 內有多少種顏色，再定義 cnt 數組，cnt[i] 表示第 i 種顏色在區間 [ql,qr] 中出現的次數，然后一個個處理詢問，對于詢問 [l,r]，挪動 ql 到 l，qr 到 r.

以下圖為例，進行模擬：

對于區間 [ql,qr]，初始狀態如上，假設藍色為 1，紅色為 2，綠色為 3，那么：cnt_1=3，cnt_2=3，cnt_3=1

將 qr 向右挪一下，那么多了一個綠色，使得：cnt_3=cnt_3+1=2

將 qr 繼續向右挪動，那么多了一個紅色，使得：cnt_2=cnt_2+1=4，此時可以發現，右指針?qr 與詢問右端點 r 重合，那么可以對左指針進行挪動

對 ql 向右挪動，那么少了一個藍色，使得：cnt_1=cnt_1-1=2，此時左指針 ql 與詢問左端點 l 重合，可得出答案：cnt_1=2，cnt_2=4，cnt_3=2.

通過以上模擬可以發現，每次挪動都是 O(1)，每次詢問最多挪動 n 次，這樣時間復雜度依舊是 O(n*m)，但通過對以上過程的模擬可以發現，這樣暴力的耗時就消耗在挪動次數上，因此只要讓挪動的次數盡可能的少就可以極大的降低時間復雜度。

而要想讓挪動次數盡可能的小，可以將 m 次詢問全部存儲下來，然后按照某種方法進行排序，從而減少挪動次數，但這樣的方法是強行離線，然后進行排序，因此普通莫隊是不支持修改的。

int l=1,r=0,ans=0; for(int i=1;i<=m;i++){while(l>q[i].l) add(--l);//[l-1,r]while(l<q[i].l) del(l++);//[l+1,r]while(r<q[i].r) add(++r);//[l,r+1]while(r>q[i].r) del(r--);//[l,r-1]res[q[i].id]=ans;//存儲答案 }

【分塊】

對于 n 與 m 同階的情況，一般設塊長度為?，經過排序后，每個塊內均攤有 ?個詢問的 l 左端點，那么顯然這 l 個端點的右端點是有序的，最多會移動 n 次，因此對于每個塊的時間復雜度是 O(n)，然后有 ?個塊，那么這樣的總復雜度為?，而對于詢問 m 特別大的情況，?會超時，因此需要用到其他的長度。

設塊長度為 S，那么對于任意多個在同一塊內的詢問，挪動的距離就是 n，一共有??個塊，移動的總次數就是?，由于移動時可能會跨塊，因此還需要加上一個 O(m*S) 的復雜度，故而總復雜度為?，由于我們需要讓這個值盡可能的小，通過簡單的數學運算可以得出，S 取??是最優的，此時時間復雜度為?，而在隨機情況下，塊的大小為??是最優的，大約是原來的 0.9 倍。

需要注意的是，分塊時塊的大小不是固定的，要根據題目具體分析，分析的過程如上面分析 m 極大時的復雜度。

block=n/sqrt(m*2/3*1.0);//分塊，不卡常數時 block=sqrt(m*2/3*1.0);//分塊，卡常數時

【排序】

將 m 次詢問強制離線進行進行排序，一種方法是優先按照左端點進行排序，這樣的排序可以保證左端點只會右挪，但右端點最壞的情況還是每次從最前面挪動到最后面，再從最后面挪到最前面，這樣的時間復雜度依然是 O(n*m)，因此要考慮一種使左右端點挪動次數盡可能少的排序方法。

考慮將長度為 n 的序列分為??個長度為??的塊，若左端點在同一個塊內，則按照右端點排序，即以左端點所在塊為第一關鍵字，右端點位置為第二關鍵字。

bool cmp(node a,node b){//正常排序if(a.l/block==b.l/block)//左端點在一個塊中return a.r<b.r;//按照右端點從小到大排序else//左端點不在一個塊中return a.l/block<b.l/block;//按照塊的位置進行排序 }

正常排序時，由于每個塊的右端點都是按照從小到大排序的，當指針跳回左邊后處理下一個塊又要跳回右邊，增加了不必要的移動，因此，此時可以按照奇偶性排序進行優化：當左端點的塊為奇數時，右端點按照從小到大排；當左端點的塊偶數時，右端點按照從大到小排。這樣可以保證指針移到右邊不用再跳回左邊，減少一半的操作，理論上可以快一倍。

bool cmp(Node a,Node b){//按照奇偶性排序if( (a.l/block)==(b.l/block) ){//當左端點位于同一個塊時if( (a.l/block)%2 )//左端點的塊序號為奇數時return a.r<b.r;//按照從小到大排else//左端點的塊序號為偶數時return a.r>b.r;//按照從大到小排}else//當左端點不位于同一個塊時return a.l<b.l;//按照塊的位置進行排序//return (a.l/block)^(b.l/block) ? a.l<b.l : ( ((a.l/block)&1)?a.r<b.r:a.r>b.r ); }

【模版】

1.統計 [l,r] 中相同的數的個數

struct Node{int l,r;//詢問的左右端點int id;//詢問的編號 }q[N]; int n,m,a[N]; int block;//分塊 int ans,cnt[N];//cnt[i]為i在當前區間出現次數 int res[N];bool cmp(Node a,Node b){//奇偶性排序return (a.l/block)^(b.l/block)?a.l<b.l:(((a.l/block)&1)?a.r<b.r:a.r>b.r); } void add(int x){//統計新的if(!cnt[a[x]])ans++;cnt[a[x]]++; } void del(int x){//減去舊的cnt[a[x]]--;if(!cnt[a[x]])ans--; } int main(){//序列scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&a[i]);//詢問scanf("%d",&m);for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r);q[i].id=i;}block=n/sqrt(m*2/3*1.0);//分塊，不卡常數時//block=sqrt(m*2/3*1.0);//分塊，卡常數時sort(q+1,q+m+1,cmp);//對詢問進行排序int l=1,r=0;//左右指針for(int i=1;i<=m;i++){int ql=q[i].l,qr=q[i].r;//詢問的左右端點while(l>ql) add(--l);//[l-1,r]while(l<ql) del(l++);//[l+1,r]while(r<qr) add(++r);//[l,r+1]while(r>qr) del(r--);//[l,r-1]res[q[i].id]=ans;//獲取答案}for(int i=1;i<=m;i++)printf("%d\n",res[i]);return 0; }

2. 統計 [l,r] 中有出現次數與其值相同的數的個數

struct Node{int l,r;//詢問的左右端點int id;//詢問的編號 }q[N]; int n,m,a[N]; int block;//分塊 LL ans,cnt[N];//cnt[i]為i在當前區間出現次數 LL res[N];bool cmp(Node a,Node b){//奇偶性排序return (a.l/block)^(b.l/block)?a.l<b.l:(((a.l/block)&1)?a.r<b.r:a.r>b.r); }void add(int x){//統計新的if(cnt[a[x]]==a[x])ans--;cnt[a[x]]++;if(cnt[a[x]]==a[x])ans++; } void del(int x){//減去舊的if(cnt[a[x]]==a[x])ans--;cnt[a[x]]--;if(cnt[a[x]]==a[x])ans++; } int main(){while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){for(int i=1;i<=n;++i){scanf("%d",&a[i]);if(a[i]>n)//大于n肯定不符合a[i]=-1;}for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r);q[i].id=i;}ans=0;memset(cnt,0,sizeof(cnt));block=sqrt(m*2/3*1.0);//分塊，卡常數sort(q+1,q+m+1,cmp);//對詢問進行排序int l=1,r=0;//左右指針for(int i=1;i<=m;i++){int ql=q[i].l,qr=q[i].r;//詢問的左右端點while(l>ql) add(--l);//[l-1,r]while(l<ql) del(l++);//[l+1,r]while(r<qr) add(++r);//[l,r+1]while(r>qr) del(r--);//[l,r-1]res[q[i].id]=ans;//獲取答案}for(int i=1;i<=m;i++)printf("%lld\n",res[i]);}return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的分治 —— 莫队算法 —— 普通莫队的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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