【概述】

快速冪就是利用二進(jìn)制的性質(zhì)來(lái)快速計(jì)算底數(shù)的 n 次冪，時(shí)間復(fù)雜度為 O(log?N)， 與樸素的 O(N) 相比效率有了極大的提高。

但有時(shí)指數(shù)十分大，利用高精來(lái)寫(xiě)可能會(huì)超時(shí)，此時(shí)就需要十進(jìn)制快速冪。

【求位數(shù)公式】

有時(shí)僅要求求 2 的 n 次冪的位數(shù)，這里有一個(gè)神奇的求位數(shù)公式：floor(log(2)/log(10)*n+1)

double res=n*log10(2)+1; cout<<int(res)<<endl;

【二進(jìn)制快速冪】

以求 a 的 b 次方為例

將 b 轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)，該二進(jìn)制數(shù)第 i 位的權(quán)為：?

例如：

11 的二進(jìn)制是 1011，即：11 = 23×1 + 22×0 + 21×1 + 2o×1

因此，我們將計(jì)算 a11 轉(zhuǎn)化為計(jì)算?

遞歸公式：

可借助位運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)：

b & 1 //取 b 二進(jìn)制的最低位，判斷和?1 是否相同，相同返回 1，否則返回 0，用于判斷奇偶

b>>1 //把 b 的二進(jìn)制右移一位，即去掉其二進(jìn)制位的最低位

int quickPow(int a,int b){int res=1;while(b){if(b&1)res*=a;a*=a;b>>=1;}return res; }

【二進(jìn)制快速冪取模】

所謂二進(jìn)制快速冪取模，就是計(jì)算給出 a，b，m 三個(gè)數(shù)，快速計(jì)算??的值

分析：以求??為例

因此，可遞歸的對(duì) n 進(jìn)行二進(jìn)制分解，在進(jìn)行快速冪運(yùn)算的同時(shí)進(jìn)行求模。

int powMod(int a, int b, int m){int res=1;while(b){if(b&1)res=(res*a)%m;a=(a*a)%m;b>>=1;}return res; }

【快速乘法的二進(jìn)制快速冪取模】

當(dāng)數(shù)非常大時(shí)，計(jì)算 (a*b)%m 使用 long long 也有可能爆精度，此時(shí)需要利用快速乘法，將轉(zhuǎn)乘法為加法，在模擬的同時(shí)不斷求模

LL multMod(LL a,LL b,LL m){//res=(a*b)%ma%=m;b%=m;LL res=0;while(b){if(b&1)res=(res+a)%m;a=(a<<=1)%m;b>>=1;}return res%m; } LL powMod(LL a, LL b, LL m){//res=(a^b)%mLL res=1;LL k=a;while(b){if((b&1))res=multMod(res,k,m)%m;k=Mult_Mod(k,k,m)%m;b>>=1;}return res%m; }

【十進(jìn)制快速冪】

考慮到指數(shù)十分大的情況，例如：，此時(shí)用 python 或 Java 大數(shù)寫(xiě)二進(jìn)制快速冪會(huì)超時(shí)，這個(gè)時(shí)候就需要用十進(jìn)制快速冪來(lái)解決。

十進(jìn)制快速冪與二進(jìn)制快速冪沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，只是拆分指數(shù)的方法一個(gè)是以十進(jìn)制，一個(gè)是以二進(jìn)制。

例如：

char b[100007]; LL tenthPow(LL a,LL len,LL mod) {LL res=1;while(len>=0){LL cnt=b[len]-'0';LL cur=a;for(int i=1; i<=cnt; i++)res=res*a%mod;for(int i=1; i<10; i++)cur=cur*a%mod;//進(jìn)位a=cur;res%=mod;len--;}return res; } int main(){LL a,mod;scanf("%lld",&a);scanf("%s",b);//字符串讀入指數(shù)scanf("%lld",&mod);LL len=strlen(b);LL res=tenthPow(a,len-1,mod);printf("%lld^%s %% %lld = %lld",a,b,mod,res);return 0; }

【例題】

• 麥森數(shù)（洛谷-P1045）(快速冪+高精度)：點(diǎn)擊這里
• 取余運(yùn)算||快速冪（洛谷-P1226）(快速冪取模)：點(diǎn)擊這里
• Rightmost Digit（HDU-1061）(快速冪取模)：點(diǎn)擊這里
• Leading and Trailing（LightOJ-1282）(快速冪取模+快速冪取高位)：點(diǎn)擊這里
• Pupu（HDU-3003）(公式推導(dǎo)+快速冪取模)：點(diǎn)擊這里
• 歐拉定理（洛谷-P5091）(十進(jìn)制快速冪)：點(diǎn)擊這里

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数论 —— 快速幂的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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