组合数学 —— 基本计数原理
【抽屜原理】
1.內(nèi)容
把 n+1 件東西放入 n 個抽屜，則至少有一個抽屜里放兩件或兩件以上的東西。
從令一角度說，把 n-1 件東西放入 n? 個抽屜，則至少一個抽屜是空的。
2.經(jīng)典應(yīng)用
給出一個含有 n 個數(shù)字的序列，要找一個連續(xù)的子序列，使他們的和一定是 c 的倍數(shù)
假設(shè) sum[i] 存儲整數(shù)序列中的前 i 項和
根據(jù)抽屜原理，以 sum 數(shù)組構(gòu)造抽屜 drawer 數(shù)組，其保存的是最先出現(xiàn)的 sum[i] 的下標，當 sum 的一個元素第二次放入重復(fù)的抽屜時，輸出結(jié)果。
若 sum[i] 是 c 的倍數(shù)，直接輸出前 i 項即可，若 sum[i] 不是 c 的倍數(shù)，則需要計算 sum[i]%c，此時，sum[i]%c = sum[j]%c，i!=j 肯定存在，即第 j 到第 i 項數(shù)的和為 c 的倍數(shù)。
LL a[N],drawer[N]; LL sum[N]; int main(){LL c,n;while(scanf("%lld%lld",&c,&n)!=EOF&&c&&n){memset(drawer,-1,sizeof(drawer));drawer[0]=0;sum[0]=0;for(LL i=1;i<=n;i++){//計算前綴和scanf("%lld",&a[i]);sum[i]=sum[i-1]+a[i];}for(LL i=1;i<=n;i++){if(drawer[sum[i]%c]!=-1){for(LL j=drawer[sum[i]%c]+1;j<i;j++)printf("%lld ",j);printf("%lld\n",i);break;}drawer[sum[i]%c]=i;}}return 0; }【加法原理與乘法原理】
1.分類加法原理
做一件事，完成它有 n 類方式，第一類方式有 M1 種方法，第二類方式有 M2 種方法，…，第 n 類方式有 Mn 種方法，那么完成這件事共有 M1+M2+……+Mn 種方法。
例如：從北京到上海有火車、飛機、輪船 3 種方式，火車、飛機、輪船分別有 k1，k2，k3 個班次，那么從北京到上海有 k1+k2+k3 種方式可以到達。
2.分步乘法原理
做一件事，完成它要分成 n 個步驟，第一步有 M1 種不同的方法，第二步有 M2 種不同的方法，…，第 n 步有 Mn 種不同的方法，那么完成這件事共有 M1×M2×M3×…×Mn 種不同的方法。
例如：從北京乘坐火車到上海，需要轉(zhuǎn) 3 次車，每次專車分別有 k1，k2，k3 個班次，那么從北京到上海有 k1×k2×k3 種方式可以到達。
3.聯(lián)系
分類加法原理和分步乘法原理是兩個基本原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題。
兩者區(qū)別在于：分類計數(shù)原理針對的是分類問題，其中各種方法相互獨立，用任何一種方法都可以完成這件事；分步計數(shù)原理針對的是分步問題，各步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成才算完成事情。
分類要依據(jù)同一標準劃分，既必須包括所有情況，又不要交錯在一起產(chǎn)生重復(fù)；分步則應(yīng)使各步依次完成，保證整個事件得到完成，既不得多余重復(fù)，也不缺少某一步驟。
【應(yīng)用】
根據(jù)研究對象的有無，一般將組合數(shù)學(xué)分為排列問題和組合問題。
其根本不同是排列問題與元素順序有關(guān)，組合問題與元素順序無關(guān)。
在排列與組合問題中，經(jīng)常會出現(xiàn)計數(shù)問題，解決計數(shù)問題的思路一般有以下三種：
1）只取需要的。將各種符合條件的情形枚舉出來，再利用加法原理求和。
2）先取后排。將各步符合條件的排列或組合計算出來，再根據(jù)乘法原理求積。
3）先全部取，再減去不要的。利用容斥定理，將各種符合條件的情形枚舉出來，再減去不符合條件的。
關(guān)于容斥定理：點擊這里
【例題】
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的组合数学 —— 基本计数原理的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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