【概述】

卡特蘭數列是組合數學中一個常出現在各種計數問題中出現的數列，其前幾項為 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, ......

卡特蘭數首先是由歐拉在計算對凸 n 邊形的不同的對角三角形剖分的個數問題時得到的，即在一個凸 n 邊形中，通過不相交于 n 邊形內部的對角線，把 n 邊形拆分成若干三角形，不同的拆分數目用 Hn 表示，Hn 即為卡特蘭數。

【公式】

1.遞歸公式 1

2.遞歸公式 2

3.組合公式 1

4.組合公式 2

【應用】

二叉樹的計數：已知二叉樹有 n 個結點，求能構成多少種不同的二叉樹

括號化問題：一個合法的表達式由()包圍，()可以嵌套和連接，如：(())()也是合法表達式，現給出?n 對括號，求可以組成的合法表達式的個數

劃分問題：將一個凸 n+2 多邊形區域分成三角形區域的方法數

出棧問題：一個棧的進棧序列為1,2,3,..n，求不同的出棧序列有多少種

路徑問題：在 n*n 的方格地圖中，從一個角到另外一個角，求不跨越對角線的路徑數有多少種

握手問題：2n 個人均勻坐在一個圓桌邊上，某個時刻所有人同時與另一個人握手，要求手之間不能交叉，求共有多少種握手方法

【實現】

1.n<=35 的卡特蘭數的實現

LL h[36]; void init() {h[0]=h[1]=1;for(int i=2; i<=35; i++) {h[i]=0;for(int j=0; j<i; j++)h[i]=h[i]+h[j]*h[i-j-1];cout<<h[i]<<endl;} }

2.n<100 的卡特蘭數的實現

#define BASE 10000 int a[100+5][100]; void multiply(int num,int n,int b) {//大數乘法int temp=0;for(int i=n-1; i>=0; i--) {temp+=b*a[num][i];a[num][i]=temp%BASE;temp/=BASE;} } void divide(int num,int n,int b) {//大數除法int div=0;for(int i=0; i<n; i++) {div=div*BASE+a[num][i];a[num][i]=div/b;div%=b;} } void init(){memset(a,0,sizeof(a));a[1][100-1]=1;for(int i=2; i<=100; i++) {memcpy(a[i],a[i-1],sizeof(a[i-1]));multiply(i,100,4*i-2);divide(i,100,i+1);} } int main() {init();int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF){int i;for(i=0;i<100 && a[n][i]==0;i++);printf("%d",a[n][i++]);for(;i<100;i++)printf("%04d",a[n][i]);printf("\n");}return 0; }

?【例題】

• 小兔的棋盤（HDU-2067）(n<=35的卡特蘭數)：點擊這里
• Game of Connections（POJ-2084）(n<100的卡特蘭數)：點擊這里
• 小a的學期（2019牛客寒假算法基礎集訓營 Day1-H）(卡特蘭數列+組合數取模)：點擊這里

總結

以上是生活随笔為你收集整理的组合数学 —— 卡特兰数列（Catalan）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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