石子合并問題是最經(jīng)典的 DP 問題，其有如下3種題型：

【任意合并】

1.問題：

有N堆石子，現(xiàn)要將石子有序的合并成一堆，規(guī)定如下：每次只能移動任意的2堆石子合并，合并花費(fèi)為新合成的一堆石子的數(shù)量。求將這N堆石子合并成一堆的總花費(fèi)最小（或最大）。

2.分析：

最簡單的情況，合并的是任意兩堆，直接貪心即可，每次選擇最小的兩堆合并，實(shí)際上就是哈夫曼樹的變形。

3.實(shí)現(xiàn)：

int a[N]; int Compare(const void *pleft, const void *pright) {int *left = (int *)pleft;int *right = (int *)pright;return (*left - *right); } int main() {int n;while(scanf("%d", &n)!=EOF&&n) {for(int i = 0; i < n; i++)scanf("%d", &a[i]);for(int i = 0; i < n; i++) {qsort(&a[i], n - i, sizeof(a[0]), Compare);for(int j = 0; j < n; j++)printf("%d ", a[j]);printf("\n");a[i+1] += a[i]; //此時a[i]和a[i+1]就是最小的兩個}printf("%d\n", a[n-1]);} }

【直線下的相鄰合并】

1.問題：

有N堆石子直線排列，現(xiàn)要將石子有序的合并成一堆，規(guī)定如下：每次只能移動相鄰的2堆石子合并，合并花費(fèi)為新合成的一堆石子的數(shù)量。求將這N堆石子合并成一堆的總花費(fèi)最小（或最大）。

2.分析：

我們熟悉矩陣連乘，知道矩陣連乘也是每次合并相鄰的兩個矩陣，那么石子合并可以用矩陣連乘的方式來解決。

設(shè) dp[i][j] 表示第 i 到第 j 堆石子合并的最優(yōu)值，sum[i][j] 表示第 i 到第 j 堆石子的總數(shù)量。

那么就有狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：

3.實(shí)現(xiàn)

int dp[N][N]; int sum[N]; int a[N]; int getMinval(int a[],int n) { for(int i=0;i<n;i++) dp[i][i] = 0; for(int v=1;v<n;v++) { for(int i=0;i<n-v;i++) { int j = i + v; dp[i][j] = INF; int tmp = sum[j] - (i > 0 ? sum[i-1]:0); for(int k=i;k<j;k++) dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j] + tmp); } } return dp[0][n-1]; } int main() { int n; while(scanf("%d",&n)!=EOF) { for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]); sum[0] = a[0]; for(int i=1;i<n;i++) sum[i] = sum[i-1] + a[i]; printf("%d\n",getMinval(a,n)); } return 0; }

平行四邊形優(yōu)化

int dp[N][N]; int p[N][N]; int sum[N]; int n; int getMinval() { for(int i=1; i<=n; i++) { dp[i][i] = 0; p[i][i] = i; } for(int len=1; len<n; len++) { for(int i=1; i+len<=n; i++) { int end = i+len; int tmp = INF; int k = 0; for(int j=p[i][end-1]; j<=p[i+1][end]; j++) { if(dp[i][j] + dp[j+1][end] + sum[end] - sum[i-1] < tmp) { tmp = dp[i][j] + dp[j+1][end] + sum[end] - sum[i-1]; k = j; } } dp[i][end] = tmp; p[i][end] = k; } } return dp[1][n]; } int main() { while(scanf("%d",&n)!=EOF) { sum[0] = 0; for(int i=1; i<=n; i++) { int val; scanf("%d",&val); sum[i] = sum[i-1] + val; } printf("%d\n",getMinval()); } return 0; }

【環(huán)形下的相鄰合并】

1.問題

有N堆石子環(huán)形排列，現(xiàn)要將石子有序的合并成一堆，規(guī)定如下：每次只能移動相鄰的2堆石子合并，合并花費(fèi)為新合成的一堆石子的數(shù)量。求將這N堆石子合并成一堆的總花費(fèi)最小（或最大）。

2.分析：

狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：

其中：

3.實(shí)現(xiàn)：

int mins[N][N]; int maxs[N][N]; int sum[N],a[N]; int minval,maxval; int n; int getsum(int i,int j) { if(i+j >= n) return getsum(i,n-i-1) + getsum(0,(i+j)%n); else return sum[i+j] - (i>0 ? sum[i-1]:0); } void Work(int a[],int n) { for(int i=0;i<n;i++) mins[i][0] = maxs[i][0] = 0; for(int j=1;j<n;j++) { for(int i=0;i<n;i++) { mins[i][j] = INF; maxs[i][j] = 0; for(int k=0;k<j;k++) { mins[i][j] = min(mins[i][j],mins[i][k] + mins[(i+k+1)%n][j-k-1] + getsum(i,j)); maxs[i][j] = max(maxs[i][j],maxs[i][k] + maxs[(i+k+1)%n][j-k-1] + getsum(i,j)); } } } minval = mins[0][n-1]; maxval = maxs[0][n-1]; for(int i=0;i<n;i++) { minval = min(minval,mins[i][n-1]); maxval = max(maxval,maxs[i][n-1]); } } int main() { while(scanf("%d",&n)!=EOF) { for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]); sum[0] = a[0]; for(int i=1;i<n;i++) sum[i] = sum[i-1] + a[i]; Work(a,n); printf("%d %d\n",minval,maxval); } return 0; }

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划 —— 区间 DP —— 石子合并三讲的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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