【初始化】

并查集在最開始時，所有的元素各自單獨(dú)構(gòu)成一個集合。

當(dāng)集合中只有一元素時，這個集合的代表結(jié)點(diǎn)即為該元素，即該元素的父親（father）是其自身。

因此并查集的初始化即將每個元素以自己作為自己的根結(jié)點(diǎn)。

int n; int father[N]; void init(){for(int i=1;i<=n;i++)father[i]=i; }

【查詢根結(jié)點(diǎn)編號】

查詢根結(jié)點(diǎn)編號是并查集中最基礎(chǔ)的用法，即我們給出一個元素編號 x 時，能通過 Find(x) 操作尋找到元素 x 的父結(jié)點(diǎn)編號。

1.基本實現(xiàn)

我們知道，一個根結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)編號是其自身，即：father[root]=root，借助這個性質(zhì)，我們即可找到任意一個結(jié)點(diǎn) x 的根結(jié)點(diǎn)。

如下圖，我們知道 father[1]=1,father[2]=1,father[3]=1,father[4]=2,father[5]=2,father[6]=3，假設(shè)我們要找 6 號結(jié)點(diǎn)的根結(jié)點(diǎn)，那么過程為：首先找到 6 號點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)為 3 號，然后再找 3 號的父結(jié)點(diǎn)為 1 號，再找 1 號的父結(jié)點(diǎn)為 1 號，此時發(fā)現(xiàn) 1 號點(diǎn)父結(jié)點(diǎn)是其自身，即滿足 father[root]=root，說明找到了 6 號點(diǎn)的根結(jié)點(diǎn)，即 1 號點(diǎn)

因此，我們利用 while 循環(huán)，即可非遞歸地實現(xiàn) Find(x) 操作

void Find(int x){//非遞歸實現(xiàn)while(father[x]!=x)//未查詢到根結(jié)點(diǎn)時x=father[x];//將當(dāng)前結(jié)點(diǎn)更新為其根結(jié)點(diǎn)，繼續(xù)向上尋找return x; }

由于并查集中每個集合都是一棵樹，那么進(jìn)一步，我們借助樹可以利用遞歸來完成上述操作

void Find(int x){//遞歸實現(xiàn)if(father[x]!=x)//未查詢到根結(jié)點(diǎn)時return Find(father[x]);//以當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)進(jìn)一步查詢return father[x]; }

2.路徑壓縮

可以發(fā)現(xiàn)，我們尋找 x 的父結(jié)點(diǎn)的過程中，不停的通過 father[x] 數(shù)組向上去尋找它的父結(jié)點(diǎn)，在這個過程中，相當(dāng)于把這個結(jié)點(diǎn)到其根結(jié)點(diǎn)的這條路徑上的所有結(jié)點(diǎn)都遍歷了一遍，這無疑加大了時間復(fù)雜度。

為解決上述問題，就有了并查集結(jié)構(gòu)中最重要的優(yōu)化——路徑壓縮，經(jīng)過路徑壓縮后，使得再次查詢這條路徑上結(jié)點(diǎn)的根結(jié)點(diǎn)時，只要 O(1) 的時間復(fù)雜度即可得到。

路徑壓縮的本質(zhì)是減少樹的層數(shù)，對于一棵集合樹來說，其根結(jié)點(diǎn)下依附著諸多結(jié)點(diǎn)，在 Find(x) 的過程中，從底向下，我們遞歸的對結(jié)點(diǎn)進(jìn)行更新，如果某個結(jié)點(diǎn)不是根結(jié)點(diǎn)的話，我們就將這個結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)設(shè)為其父結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)，逐層的進(jìn)行遞歸，盡最大可能的去減少樹的層數(shù)。

int Find(int x) {if (x != father[x])return father[x] = Find(father[x]);return father[x]; }

舉例來說，假設(shè)初始并查集如下：father[1]=1,father[2]=1,father[3]=2,father[4]=3,father[5]=4，現(xiàn)在我們要進(jìn)行 Find(4) 操作

根據(jù)上述遞歸的路徑壓縮的過程：

可以看出，路徑壓縮完成后，有：father[1]=1,father[2]=1,father[3]=1,father[4]=1,father[5]=4，從 4 號點(diǎn)到 1 號點(diǎn)的這條路徑被壓縮了，當(dāng)下一次查詢，只需要經(jīng)過一次詢問，即可得到相應(yīng)結(jié)點(diǎn)的根結(jié)點(diǎn)。

【合并兩集合】

合并兩集合同樣是并查集中常見的操作。

對于分屬兩個集合中的元素 x、y，首先利用 Find() 操作，找出兩個結(jié)點(diǎn)的根結(jié)點(diǎn) fx、fy，然后判斷根結(jié)點(diǎn)是否相同，若相同，說明兩結(jié)點(diǎn)已經(jīng)處于一個集合里，不需合并，若不同，將元素 y 的根結(jié)點(diǎn) fy 指向 x 的根結(jié)點(diǎn) fx 即可

void Union(int x,int y) {int fx=Find(x);//x的根結(jié)點(diǎn)int fy=Find(y);//y的根結(jié)點(diǎn)if(fx!=fy)//判斷fx與fy是否為一個根結(jié)點(diǎn)father[fy]=fx; }

【判斷兩元素是否屬于同一集合】

判斷兩元素是否屬于同一集合，只需要利用 Find() 操作找出兩個元素的根結(jié)點(diǎn) fx、fy，判斷是否相等即可。

bool judge(int x,int y){int fx=Find(x);int fy=Find(y);if(fx==fy)return true;return false; }

【統(tǒng)計集合數(shù)目】

在初始化時，我們將每個元素以自己作為自己的根結(jié)點(diǎn)，因此當(dāng)需要統(tǒng)計集合數(shù)目時，只需要統(tǒng)計有多少個元素的根結(jié)點(diǎn)是其自身即可。

int countSets(int n){int cnt=0;for(int i=1;i<=n;i++)if(father[i]==i)cnt++;return cnt; }

【統(tǒng)計每個集合中元素個數(shù)】

統(tǒng)計每個集合中元素的個數(shù)需要兩步：首先，對于 n 個結(jié)點(diǎn)，我們要先尋找他們的父結(jié)點(diǎn)，借助桶排來統(tǒng)計父結(jié)點(diǎn)下的結(jié)點(diǎn)個數(shù)，然后，再統(tǒng)計父結(jié)點(diǎn)外的點(diǎn)，即對于每個元素，將其個數(shù)記為其父結(jié)點(diǎn)下的元素個數(shù)。

void countElements(){for(int i=1;i<=n;i++){father[i]=Find(i);//尋找每個節(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)num[father[i]]++;//統(tǒng)計父結(jié)點(diǎn)下的節(jié)點(diǎn)個數(shù)}for(int i=1;i<=n;i++)//統(tǒng)計父節(jié)點(diǎn)外的點(diǎn)的個數(shù)num[i]=num[father[i]];//對于每個元素，將其個數(shù)記為其父結(jié)點(diǎn)下的元素個數(shù) }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的树形结构 —— 并查集 —— 基本操作的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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