【概念】

1.不定方程：未知數的個數多于方程個數，且未知數受到某些限制（如要求是整數）的方程。

2.同余方程

設函數?，則稱：是關于模 m 的同余方程

3.線性：方程的未知數次數是一次

4.線性同余方程

線性同余方程是最基本的同余方程，形如??的未知數是 x 的同余式，其中，a、b 是整數，且?

【與線性同余方程有關的定理】

1.定理1：對于二元一次方程??，其等價為?，該方程有整數解的充分條件是?，若方程有整數解，則共有??個解。

2.定理2：若??、?為??的一組解，則該方程的任一解可表示為：

注意，上面兩個通解公式只能選擇其中一個，另一個再根據原方程推出。

3.定理3：若?，則方程??在??上有唯一解。

【線性同余方程的解的求法】

1.使用擴展歐幾里德算法求方程的一組解

根據定理1，對于方程??，用擴展歐幾里德算法求出一組?、，即令?，然后兩邊同除??，再乘以 c ，即得方程??，因此可知方程的一組解?

2.實際應用

實際中，常常被要求去求最小的正整數的解，先通過擴展歐幾里德算法求出方程的一組?、，再設??，通過定理2來拓展方程的解，來調整x的范圍，將??拓展為??，從而使得所得到的 x 盡可能的小，通過式子??來約束結果一定是一個正數，最后所得到的 x 即是一個最小的正整數解。?

【模版】

#include<iostream> using namespace std; int Extended_GCD(int a,int b,int &x,int &y) {if(b==0){x=1;y=0;return a;}int temp;int gcd=Extended_GCD(b,a%b,y,x);y-=x*(a/b);return gcd; } int main() {//形如 ax+by=cint a,b,c,x,y;cin>>a>>b>>c;int gcd=Extended_GCD(a,b,x,y);if(c%gcd!=0)cout<<"無整數解"<<endl;elsecout<<"該方程的一組整數解為：x="<<x*c/gcd<<",y="<<y*c/gcd<<endl;return 0; }

【例題】

• 青蛙的約會（POJ-1061）(擴展歐幾里得)：點擊這里
  同題：青蛙的約會（洛谷-P1516）：點擊這里
• The Balance（POJ-2142）(線性同余方程)：點擊這里
• C Looooops（POJ-2115）(線性同余方程)：點擊這里

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数论 —— 线性同余方程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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